Dowód
Dany jest trapez ABCD, w którym AB ∥ CD. Na podstawie AB zaznaczono punkty E i F takie, że EC ∥ AD i FD ∥ BC. Wykaż, że czworokąty AECD i FBCD mają równe pola.
Odpowiedź eSzkola.pl
Na początek wykonajmy odpowiedni rysunek. W zadaniu nie mamy podanych żadnych cech charaketrystycznych naszej figury, a zatem jest to dowolny trapez ABCD.
Zaznaczmy teraz odpowiednie punkty E oraz F:
Chcemy wykazać, że pole czworokąta AECD i FBCD mają równe pola. Zauważmy, że skoro EC ∥ AD i DF ∥ BC, a AB ∥ CD (ponieważ ABCD to trapez), to czworokąty AECD i FBCD są równoległobokami.
Wzór na pole równoległoboku to . Zaznaczmy zatem odpowiednie wysokości:
Równolełobok FBCD:
Pole tego równolełoboku to , ale jeśli jest to równoległobok, to |FB|=|CD|, czyli
Spójrzmy na drugi równoległobok:
Jego pole, to i podobnie jak poprzednio, wiemy że |AE| = |CD| (ponieważ jest to równoległobok). Stąd
.
A zatem otrzymujemy, że pola tych dwóch równoległoboków są równe. Pozostaje pytanie, czy wysokości tych dwóch równoległoboków są równe? Tak, ponieważ jest to wysokość trapezu, która dla nich obydwu jest wspólna. To kończy dowód.