Zasada superpozycji pól

Zasada superpozycji pól jest narzędziem umożliwiającym znajdowanie wypadkowego natężenia pola i wypadkowego potencjału pola w przypadkach, gdy pole grawitacyjne powstaje w wyniku nałożenia się n pól grawitacyjnych, wytworzonych przez układ n mas.

Zasada ta polega na sumowaniu natężeń pól lub potencjałów pochodzących od poszczególnych ciał. Aby to lepiej zrozumieć przeanalizujmy poniższy przykład.

Zasada superpozycji pól – przykład.

Na rysunku przedstawiono układ trzech mas o wartościach 1kg, 2kg i 3kg, znajdujących się na jednej prostej w równych odległościach R = 2m. Znajdź wypadkowe natężenie pola grawitacyjnego i wypadkowy potencjał pola w punkcie A, znajdującym się po środku mas 1 i 2.

Rozwiązanie:
Aby znaleźć wypadkowy potencjał należy, zgodnie z zasadą superpozycji, algebraicznie dodać potencjały pochodzące od wszystkich mas:

V _{w} =V _{1} +V _{2} +V _{3}

Odpowiednie potencjały są równe:

V _{1} = \frac{-Gm _{1} }{ \frac{R}{2} } = \frac{-2Gm _{1} }{R}

V _{2} = \frac{-Gm _{2} }{ \frac{R}{2} } = \frac{-2Gm _{2} }{R}

V _{3} = \frac{-Gm _{3} }{R+ \frac{R}{2} } = \frac{-2Gm _{3} }{3R} , stąd:

V _{w} = \frac{-2Gm _{1} }{R} - \frac{2Gm _{2} }{R} - \frac{2G m_{3} }{R} = \frac{-2G}{R} (m _{1}+m _{2 }+ \frac{m _{3} }{3}  }  )

V _{w} = \frac{-2 \cdot 6,67 \cdot 10 ^{-11} \frac{Nm ^{2} }{kg ^{2} }  }{2m} (1kg+2kg+1kg)=-26,68 \cdot 10 ^{-11}  \frac{J}{kg}

Wyznaczenie wypadkowego natężenia pola jest nieco trudniejsze, gdyż jest ono wielkością wektorową (posiada wartość, kierunek i zwrot). Najprościej jest zaznaczyć kierunki wektorów natężenia na rysunku pamiętając, że zwrot wektora natężenia pola grawitacyjnego jest zawsze skierowany do środka ciała wytwarzającego to pole.

Z powyższego rysunku wynika, że wypadkowe natężenie pola jest równe:

 \gamma  _{w} =- \gamma  _{1} + \gamma  _{2} + \gamma  _{3}

Odpowiednie natężenia są równe:

 \gamma  _{1} = \frac{Gm _{1} }{( \frac{R}{2}) ^{2}  } = \frac{4Gm _{1} }{R ^{2} }

 \gamma  _{2} = \frac{Gm _{2} }{( \frac{R}{2}) ^{2}  } = \frac{4Gm _{2} }{R ^{2} }

 \gamma  _{3} = \frac{Gm _{} }{( \frac{3}{2}R) ^{2}  } = \frac{4Gm _{3} }{9R ^{2} } , stąd:

 \gamma  _{w} = \frac{-4Gm _{1} }{R ^{2} } + \frac{4Gm _{2} }{R ^{2} } + \frac{4Gm _{3} }{9R ^{2} } = \frac{4G}{R ^{2} } (-m _{1} +m _{2} + \frac{1}{9} m _{3} )

 \gamma  _{w} = \frac{4 \cdot 6,67 \cdot 10 ^{-11}  \frac{Nm ^{2} }{kg ^{2} } }{(2m) ^{2} } (-1kg+2kg+ \frac{1}{9} \cdot 3kg) \approx 8,9  \cdot 10 ^{-11}  \frac{N}{kg}