Ułamki dziesiętne

Ułamki nazywamy dziesiętnymi wtedy, kiedy zamiast kreski ułamkowej mają w zapisie przecinek.

Przykład:

0,1, 1,333..., 2,7, itd.

Ułamki takie nazywa się dziesiętnymi, ponieważ w ich zapisie w postaci ułamków zwykłych mianownikiem jest liczba 10.

Przykład:

0,1 =  \frac{1}{10} 1,333... =  \frac{8}{6}  \approx   \frac{13,333...}{10} 2,7 =  \frac{27}{10} , itd.

Przed przecinkiem znajdują się całości, tj. dziesiątki, setki, tysiące, itd., natomiast za przecinkiem - rozwinięcie dziesiętne - części dziesiąte, setne, tysięczne i tak dalej.

Ułamki dziesiętne skończone i nieskończone

Ułamek dziesiętny może mieć skończone rozwinięcie dziesiętne (np. 0,5 lub 0,1234) lub nieskończone (w którego zapisie pojawiają się kropki - np. 1,333...).

Jeśli rozwinięcie dziesiętne ułamka jest nieskończone to możemy mieć do czynienia z dwoma przypadkami - albo jest ono okresowe (to znaczy dana sekwencja cyfr powtarza się i jesteśmy w stanie podać jaka cyfra pojawi się na każdym następnym miejscu) albo jest nieokresowe (i wówczas mamy do czynienia z pełną losowością - nie znamy zasady, według której generowane są kolejne liczby po przecinku).

Przykład:

25,75 - ułamek o skończonym rozwinięciu dziesiętnym.

0,12312312... - ułamek o nieskończonym ale okresowym rozwinięciu dziesiętnym.

 \pi  = 3,141592653... - część ułamkowa liczby  \pi  jest nieokresowym rozwinięciem dziesiętnym.

Dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych

Dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych przebiega w dokładnie taki sam sposób, jak w przypadku dodawania i odejmowania zwykłych liczb naturalnych, a zatem można je przeprowadzić pisemnie - liczby zapisujemy tak, jakby były one zwykłymi liczbami naturalnymi, pilnując tego, żeby przecinki znajdowały się w tym samym miejscu, tj., żeby rzędy wielkości sobie odpowiadały - dziesiątki nad dziesiątkami, setki nad setkami, części dziesiętne nad częściami dziesiętnymi, itd. - a następnie wykonujemy odpowiednie dodwanie bądź odejmowanie. Na sam koniec przepisujemy przecinek w odpowiednim miejscu (a zatem dokładnie w tym samym, w którym był w dodwanych bądź odejmowanych liczbach) i odczytujemy wynik.

Mnożenie i dzielenie ułamków dziesiętnych

Mnożenie i dzielenie ułamków dziesiętnych też sprowadza się do wykonania odpowiedniego działania pisemnego, sprawę jednak komplikuje odrobinę miejsce, w którym stoi przecinek. W przypadku mnożenia musimy policzyć ile jest w sumie miejsc po przecinku w obu mnożonych liczbach - i na takiej pozycji (licząc od prawej strony) ustawimy przecinek w wyniku końcowym. Natomiast w przypadku dzielenia przecinek obu liczb przesuwamy w prawo w taki sposób, żeby dzielnik stał się liczbą naturalną.

Przykład:

 

Mnożenie 102,4 x 2,1 przebiegało zupełnie tak samo, jak mnożenie liczb 1024 i 21 - różnicą jest jedynie usytuowanie przecinka. W tym celu liczymy ile jest miejsc po przecinku w obu tych liczbach (2) i stawiamy przecinek w wyniku na takiej właśnie pozycji od prawej strony (a zatem na drugiej pozycji od prawej strony) - wynik wynosi 215,04.

Jeśli teraz mielibyśmy podzielić otrzymany wynik (tj. liczbę 215,04) przez 2,1, postąpilibyśmy następująco: najpierw w obu liczbach przesuwamy przecinek w prawą stronę tak, by dzielnik (a zatem 2,1) był liczbą naturalną - czyli w obu liczbach przesuwamy przecinek w prawą stronę, by dzielenie 215,04 : 2,1 sprowadzić do dzielenia 2150,4 : 21. Następnie wykonujemy zwykłe dzielenie pisemne, a potem przepisujemy przecinek do wyniku na tą pozycję, na której stoi on w dzielnej (a zatem w liczbie 2150,4 - przecinek stoi jedno miejsce od prawej). Wynik wynosi 1024, natomiast po ustawieniu przecinka w odpowiednim miejscu 102,4.

 

Działania na ułamkach dziesiętnych - zadania

Wykonać następujące działania:

a) 1,25 + 2,67,

b) 1,25 x 2,35,

c) 174,85 : 6,5.

 

Odpowiedzi:

a) 3,92,

b) 2,9375,

c) 26,9.