Reguła mnożenia

Na ile sposobów można ustawić 8 osób w kolejce?

Aby odpowiedzieć na to pytanie wygodnie jest posłużyć się następującym sposobem myślenia:

Wyobraźmy sobie kasę i stojących w kolejce osiem anonimowych osób. Nasze osoby są oczywiście konkretnymi osobami o danym imieniu i nazwisku, więc teraz będziemy owych anonimowych ludzi identyfikować.

 

Ustawiamy osoby ze zbioru ośmiu konkretnych osób, zatem pierwszą może być każda z nich - możemy ją więc wybrać na osiem różnych sposobów. Drugą osobą może być każda oprócz pierwszej, już wybranej. I tak dalej. Kontynuując to rozumowanie bardzo szybko dochodzimy do wniosku, że wszystkie osoby daje sę ustawić w kolejce na 8 \cdot 7\cdot ... \cdot 1 sposobów, a więc na 8!.

 

Przykład:

Na ile sposobów można liczby ze zbioru \left \{ 1,2,3,4 \right \} ustawić tak, by żadna z nich się nie powtarzała a ostatnia była liczbą parzystą?

Skorzystamy znów z podobnego rozumowania, tym razem zaczniemy jednak od końca. Ostatnia liczba musi być parzysta, więc możemy ją wybrać na dwa sposoby (może to być 2 lub 4). Zatem do wyboru na trzy pierwsze miejsca zostały nam trzy pozostałe liczby. Pierwszą z nich możemy wybrać na trzy sposoby, drugą na dwa, trzecią - jeden. Ostatecznie więc 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot1 = 12.

Istnieje więc 12 sposobów ustawienia liczb ze zbioru \left \{ 1,2,3,4 \right \} w zadanym porządku.

Gdyby nie było narzuconego ograniczenia o niepowtarzaniu się liczb mielibyśmy 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 128 możliwości.

Innymi słowy zatem istnieje 12 liczb parzystych o różnych cyfrach ze zbioru \left \{ 1,2,3,4 \right \} oraz 128 liczb parzystych tworzonych z cyfr tego zbioru w sytuacji, gdy mogą się one powtarzać. 

 

Ogólnie zaś możemy powiedzieć, że:

Jeżeli pewien wybór polega na podjęciu n decyzji przy czym pierwszą można podjąć na k_1 sposobów, drugą na k_2 sposobów, ..., n-tą na k_n sposobów, to wszystkich możliwych wyborów jest k_1 \cdot k_2 \cdot ... \cdot k_n.

Powyższą zasadę nazywamy regułą mnożenia

 

Zadania:

1. Ile różnych liczb sześciocyfrowych można utworzyć z cyfr z 1234567 jeśli każda może występować dokładnie raz?

2. Na ile różnych sposobów może wbiec „gęsiego” na murawę boiska drużyna piłkarska, jeśli bramkarz biegnie trzeci?

 

Odpowiedzi:

1. 6! = 720.

2. 10! = 3628800.