Paradoks Monty'ego Halla

Wyobraźmy sobie teleturniej, w którym za jedną z trzech bramek ukryta jest wyjątkowo cenna nagroda - powiedzmy, sto tysięcy złotych - za pozostałymi dwoma natomiast nie ma nic.

Gracz wskazuje jedną z bramek i wówczas prowadzący proponuje mu zmianę decyzji, odsłaniając jednocześnie jedną z niewybranych bramek (tą, za którą nie ma nagrody).

 

Co powinien zrobić uczestnik teleturnieju?

Z pozoru wydaje się, że bez znaczenia jest czy uczestnik pozostanie przy początkowej decyzji, czy też zmieni wybór - wszak prawdopodobieństwo tego, że za jedną z dwóch bramek jest nagroda powinno wynosić \fr12 - cała magia paradoksu Monty'ego Halla (nazwanego tak od nazwiska prowadzącego teleturniej Let's make a deal, w którym to zadanie zostało zaprezentowane) polega właśnie na tym, że to prawdopodobieństwo wcale nie jest takie jak się początkowo wydaje.

Przeprowadźmy następującą analizę problemu. Jaka była szansa trafić „dobrą” bramkę za pierwszym razem? Oczywiście \fr13.

 

Zatem prawdopodobieństwo złego trafienia wynosiło dwa razy tyle, tj. \fr23. W momencie, kiedy prowadzący odsłania jedną z bramek prawdopodobieństwo, że początkowo wybraliśmy dobrze, dalej jest takie samo - ciągle mamy \fr13 szans na wielką wygraną. A jednak sytuacja zmieniła się - bo oprócz naszej wybranej bramki mamy teraz możliwość postawienia tylko na jedną z pozostałych - w drugiej bowiem - tak jak pokazał prowadzący - nagrody na pewno nie ma. Co się zatem dzieje? Prawdopodobieństwo tego, że nie ma nagrody w naszej wybranej bramce wynosi \fr23, więc z prawdopodobieństwem równym 1 - \fr23, a zatem \fr13 nagrody nie ma w pozostałej bramce - więc można przyjąć, że znajduje się ona w tej bramce z prawdopodobieństwem \fr23, tj. dwukrotnie wyższym niż to, które opisuje naszą wybraną na początku bramkę.

A zatem z powyższych rozważań wynika, że opłaca się zmienić początkowy wybór, bo zwiększy to szansę wygranej aż dwukrotnie.