Nierówności wymierne

Aby rozwiązać nierówność wymierną musimy najpierw tak ją przekształcić, by wszystkie występujące w niej ułamki algebraiczne znalazły się po jednej stronie. Następnie sprowadzamy je do wspólnego mianownika. Ta część rozwiązywania jest podobna do rozwiązywania równania wymiernego - w istocie postępujemy dotąd tak samo, z tą różnicą, że zamiast znaku = piszemy znak odpowiedniej nierówności.

Kiedy wyrażenie jest sprowadzone do jednego ułamka następuje tak zwana zamiana na nierówność równoważną co zostanie omówione poniżej. Następnie rozwiązuje się już nierówność wielomianową/kwadratową/liniową, rysując w tym celu uproszczony wykres wielomianu lub postępując w inny właściwy dla typu nierówności sposób.

Ostatecznie rozwiązaniem jest zbiór liczb spełniających otrzymaną nierówność wielomianową/kwadratową/liniową z wyłączeniem tych liczb, które zerowały mianowniki ułamków występujących na początku (a zatem konieczne jest wyznaczenie dziedziny pojawiających się wyrażeń - najlepiej jest to zrobić na starcie).

Prześledźmy to na przykładzie.

Przykład:

Rozwiążemy następującą nierówność:

 \frac{x}{x-1} + \frac{2x-7}{x ^{2} -1}  \ge  \frac{5}{x+1}

Wyznaczmy na początek dziedzinę. Dziedziną będą wszystkie liczby rzeczywiste oprócz tych zerujących mianowniki, a zatem jest to zbiór D:x\in\mathbb{R} \setminus \{-1,1\}. Mając dziedzinę możemy przystąpić do właściwego rozwiązywania nierówności.

Rozwiązywanie zacznijmy od przeniesienia wszystkich ułamków algebraicznych na jedną stronę.

 \frac{x}{x-1} + \frac{2x-7}{x ^{2} -1} - \frac{5}{x+1}  \ge 0

Chcemy sprowadzić wszystkie ułamki do wspólnego mianownika. W tym celu moglibyśmy pomnożyć przez siebie występujące w tych ułamkach mianowniki ale można to zrobić sprytniej. Pomyślmy o tym tak jak o znajdowaniu wspólnego mianownika dla ułamków  \frac{1}{2} ,  \frac{1}{3} i  \frac{1}{6} . Moglibyśmy jako mianownik przyjąć 2 \cdot 3 \cdot 6, ale ponieważ 6 samo w sobie to 2 \cdot 3 wystarczy, że za mianownik przyjmiemy szóstkę właśnie. W przypadku ułamków algebraicznych może zdarzyć się podobna sytuacja - rozpiszmy w tym celu mianownik środkowego ułamka korzystając ze wzoru skróconego mnożenia a ^{2} -b ^{2} =(a-b)(a+b).

 \frac{x}{x-1} + \frac{2x-7}{(x -1)(x+1)} - \frac{5}{x+1}  \ge 0

A zatem mianownik środkowego ułamka jest iloczynem mianowników pozostałych ułamków. Taki też będzie wspólny mianownik. Domnóżmy pozostałe ułamki odpowiednio przez x+1 oraz x-1.

 \frac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{2x-7}{(x -1)(x+1)} - \frac{5(x-1)}{(x+1)(x-1)}  \ge 0

Zapiszmy teraz wszystko na jednej kresce ułamkowej.

 \frac{x(x+1)+ 2x-7 - 5(x-1)}{(x+1)(x-1)}  \ge  0

Teraz pozbądźmy się nawiasów w liczniku wymnażając odpowiednio.

 \frac{x^2+x+ 2x-7 - 5x+5}{(x+1)(x-1)}  \ge  0

Otrzymujemy następującą nierówność:


 \frac{x^2-2x-2}{(x+1)(x-1)}  \ge  0

W tym miejscu nastąpi właśnie zamiana na nierówność równoważną. Wyjaśnijmy to.

Zwróćmy uwagę, że jeśli  \frac{a}{b} > 0 to również ab>0. Albo obie liczby były dodatnie albo obie były ujemne - tylko wtedy ich iloraz byłby większy od zera - ale wówczas również ich iloczyn jest dodatni - więc uprawniona jest następująca zamiana.

Podobnie gdy  \frac{a}{b} <0 (jedna z liczb a, b ujemna, druga dodatnia), dozwolona jest zamiana nierówności na równoważną jej nierówność ab<0.

Skorzystamy z tego faktu rozwiązując nierówność wymierną.


(x^2-2x-2)(x+1)(x-1)  \ge  0

Otrzymujemy zatem nierówność wielomianową. Znajdźmy pierwiastki wielomianu.

1) 
x^2-2x-2 = 0

 \Delta =(-2) ^{2} -4 \cdot 1 \cdot (-2)=4+8=12

x _{1} = \frac{2- \sqrt{12} }{2} 
=\frac{2- \sqrt{4 \cdot 3} }{2} 
=\frac{2- 2\sqrt{ 3} }{2} 
=\frac{2(1- \sqrt{ 3}) }{2} 
=1- \sqrt{ 3}

x _{2} = \frac{2+ \sqrt{12} }{2} 
=\frac{2+ \sqrt{4 \cdot 3} }{2} 
=\frac{2+ 2\sqrt{ 3} }{2} 
=\frac{2(1+ \sqrt{ 3}) }{2} 
=1+ \sqrt{ 3}

2) 
x+1=0

x _{3} =-1

3) 
x-1=0

x _{4} =1

A zatem wielomian ma cztery pierwiastki: 1- \sqrt{3} , 1+ \sqrt{3} , -1 i 1. Narysujmy jego wykres.

Nierówności wymierne

Interesują nas te przedziały, w których wykres powyższego wielomianu znajduje się powyżej osi x (rozwiązujemy nierówność  \ge ). Dzieje się tak wtedy, gdy x\in(- \infty ,-1> \cup <1- \sqrt{3} ,1> \cup <1+ \sqrt{3} ,+ \infty ).

Ale jak pamiętamy liczby 1-1 zostały wykluczone z dziedziny ponieważ zerowały mianowniki początkowych wyrażeń. Po uwzględnieniu tego faktu otrzymujemy ostatecznie rozwiązanie nierówności:

x\in(- \infty ,-1) \cup <1- \sqrt{3} ,1) \cup <1+ \sqrt{3} ,+ \infty ).