Współrzędne biegunowe

czym aby otrzymać wartość $\varphi$ z odpowiedniego przedziału (np. $[0,2 \pi )$ ) należy niekiedy do otrzymanego w ten sposób wyniku dodać $\pi$ lub $2 \pi$ .

Przykład:

Znajdziemy współrzędne biegunowe punktów $A(3,3)$ oraz $B(-3,3)$ .

Policzmy na początek $r_A$ :

$r_A= \sqrt{3^2+3^2} = \sqrt{18} =3 \sqrt{2}$ - mamy promień wodzący punktu $A$ .

Wyznaczmy teraz jego aplitudę:

$\varphi_A=arctg( \frac{3}{3} )=arctg(1)= \frac{\pi}{4} =45^ \circ$ - otrzymaliśmy wartość z przedziału $[0,2 \pi )$ , więc nie potrzeba dodawać niczego do tego kąta.

A zatem punkt $A(3,3)$ ma współrzędne biegunowe $(3 \sqrt{2} , \frac{\pi}{4} )$ .

Wyznaczymy teraz współrzędne punktu $B(-3,3)$ .

$r_B= \sqrt{(-3)^2+3^2} = \sqrt{18} =3 \sqrt{2}$ - promień wodzący jest identyczny jak w przypadku punktu $A$ , ponieważ punkt $B$ jest jego symetrycznym odbiciem względem osi $y$ , a zatem i odległość od początku układu ma identyczną.

Wyznaczmy aplitudę:

$\varphi_B=arctg( \frac{3}{-3} )=arctg(-1)= - \frac{\pi}{4} =-45^ \circ$ - otrzymaliśmy wartość ujemną, a zatem musimy dodać $\pi$ , tak by dostać wartość z przedziału $[0,2 \pi )$ .

$\varphi_B + \pi = - \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3 \pi}{4}$ - taka jest amplituda punktu $B$ .

A zatem punkt $B(-3,3)$ ma współrzędne biegunowe $(3 \sqrt{2} , \frac{3\pi}{4} )$ .

Przejście z układu biegunowego do układu kartezjańskiego

Aby dokonać przejścia w drugą stronę posłużymy się następującymi wzorami:

$x=r\cos\varphi$

$y=r\sin\varphi$

Uzasadnienie tych wzorów przeprowadźmy w oparciu o rysunek:

Współrzędne biegunowe

Cosinus kąta $\varphi$ możemy wyrazić jako $\frac{x}{r}$ , a zatem $\cos\varphi= \frac{x}{r}$ . Przekształcając tą równość na $x$ otrzymamy właśnie podany powyżej wzór ( $x=r\cos\varphi$ ).