Współrzędne biegunowe - strona 2

czym aby otrzymać wartość \varphi z odpowiedniego przedziału (np.  [0,2  \pi )) należy niekiedy do otrzymanego w ten sposób wyniku dodać  \pi lub 2 \pi.

Przykład:

Znajdziemy współrzędne biegunowe punktów A(3,3) oraz B(-3,3).

Policzmy na początek r_A:

r_A= \sqrt{3^2+3^2} = \sqrt{18} =3 \sqrt{2} - mamy promień wodzący punktu A.

Wyznaczmy teraz jego aplitudę:

\varphi_A=arctg( \frac{3}{3} )=arctg(1)=   \frac{\pi}{4} =45^ \circ  - otrzymaliśmy wartość z przedziału  [0,2  \pi ), więc nie potrzeba dodawać niczego do tego kąta.

A zatem punkt A(3,3) ma współrzędne biegunowe (3 \sqrt{2} , \frac{\pi}{4} ).

Wyznaczymy teraz współrzędne punktu B(-3,3).

r_B= \sqrt{(-3)^2+3^2} = \sqrt{18} =3 \sqrt{2}  - promień wodzący jest identyczny jak w przypadku punktu A, ponieważ punkt B jest jego symetrycznym odbiciem względem osi y, a zatem i odległość od początku układu ma identyczną.

Wyznaczmy aplitudę:

\varphi_B=arctg( \frac{3}{-3} )=arctg(-1)= -  \frac{\pi}{4} =-45^ \circ  - otrzymaliśmy wartość ujemną, a zatem musimy dodać  \pi , tak by dostać wartość z przedziału  [0,2  \pi ).

\varphi_B +  \pi  = -  \frac{\pi}{4} + \pi =  \frac{3 \pi}{4} - taka jest amplituda punktu B.

A zatem punkt B(-3,3) ma współrzędne biegunowe (3 \sqrt{2} , \frac{3\pi}{4} ).

 

Przejście z układu biegunowego do układu kartezjańskiego

Aby dokonać przejścia w drugą stronę posłużymy się następującymi wzorami:

x=r\cos\varphi

y=r\sin\varphi

Uzasadnienie tych wzorów przeprowadźmy w oparciu o rysunek:

Współrzędne biegunowe

Cosinus kąta \varphi możemy wyrazić jako  \frac{x}{r} , a zatem \cos\varphi= \frac{x}{r} . Przekształcając tą równość na x otrzymamy właśnie podany powyżej wzór (x=r\cos\varphi).

Podobnie w przypadku sinusa kąta \varphi\sin\varphi= \frac{y}{r} przekształcimy na y=r\sin\varphi.

Przykład:

Sprawdźmy, że współrzędne wyznaczone w poprzednim przykładzie przeprowadzą nas ponownie na punkty A i B, od których zaczęliśmy.

Punkt A ma współrzędne biegunowe (3 \sqrt{2} , \frac{\pi}{4} ), zatem r_A=3 \sqrt{2} oraz \varphi_A= \frac{\pi}{4} .

Policzmy x i y:

x=r_A\cos\varphi_A=3 \sqrt{2} \cos( \frac{\pi}{4} )=3 \sqrt{2}  \cdot  \frac{ \sqrt{2} }{2} =
3

y=r_A\sin\varphi_A=3 \sqrt{2} \sin( \frac{\pi}{4} )=3 \sqrt{2}  \cdot  \frac{ \sqrt{2} }{2} =
3

A zatem w istocie A ma współrzędne kartezjańskie (3,3).

Sprawdźmy dla punktu B.

Punkt ten ma współrzędne biegunowe (3 \sqrt{2} , \frac{3\pi}{4} ), więc r_B=3 \sqrt{2} oraz \varphi_B= \frac{3\pi}{4} .

Wyznaczmy x i y:

x=r_B\cos\varphi_B=3 \sqrt{2} \cos( \frac{3\pi}{4} )=3 \sqrt{2}  \cdot  \frac{- \sqrt{2} }{2} =
-3

y=r_B\sin\varphi_B=3 \sqrt{2} \sin( \frac{3\pi}{4} )=3 \sqrt{2}  \cdot  \frac{ \sqrt{2} }{2} =
3

Tak więc B=(-3,3).

Polecamy również:

  • Współrzędne sferyczne

    Współrzędne sferyczne są alternatywnym względem współrzędnych kartezjańskich sposobem opisu położenia punktów w przestrzeni trójwymiarowej... Więcej »

Komentarze (0)
Wynik działania 5 + 2 =
Ostatnio komentowane
9
kjkjkjkjk] • 2021-01-16 12:36:17
p
carlos • 2021-01-16 08:12:48
okej dzk
uga buga • 2021-01-15 10:25:25
piotr - dziękujemy za zwrócenie uwagi - wpis został poprawiony, pozdrawiamy :)
ADMIN • 2021-01-15 08:15:00
bardzo fajny tekst
lucek pucek • 2021-01-14 18:40:10