Bez znajomości kolejności wykonywania działań nawet proste wyrażenie może dać dwa różne wyniki. W tym artykule pokazuję dokładnie, jak unikać takich błędów i za każdym razem otrzymać poprawny wynik obliczeń, załączam też karty pracy z wykonywania działań matematycznych, które warto pobrać dla uczniów.
Link do kart pracy znajdziesz tutaj:
Najważniejsze wnioski odnośnie kolejności działań
-
Kolejność wykonywania działań matematycznych przewiduje taką kolejność:
-
działania w nawiasach →
-
potęgowanie i pierwiastkowanie →
-
następnie mnożenie i dzielenie →
-
na końcu dodawanie i odejmowanie :)
-
-
Mnożenie i dzielenie mają wyższy priorytet niż dodawanie i odejmowanie - zawsze wykonuję je jako pierwsze spośród czterech podstawowych działań.
-
Działania tego samego poziomu (np. mnożenie i dzielenie lub dodawanie i odejmowanie) wykonuję od lewej do prawej, bez przeskakiwania.
-
Nawiasy mają pierwszeństwo przed wszystkimi innymi operacjami - obliczenia w nawiasach traktuję jako oddzielne działania.
-
Poprawna kolejność działań pozwoli Ci uniknąć błędów na sprawdzianach, egzaminach i w codziennych obliczeniach.
Wstęp – po co mi znajomość kolejności wykonywania działań?
Matematyka wymaga ujednoliconych zasad interpretacji wyrażeń - bez nich każda osoba mogłaby liczyć to samo wyrażenie inaczej. Kolejność działań ma kluczowe znaczenie dla wyniku obliczeń, bo bez określonych reguł wyrażenia mogą prowadzić do błędnych wyników.
Opisuję tu kolejność wykonywania działań tak, jak obowiązuje ona w polskiej szkole podstawowej i średniej w 2026 roku. Przydaje się nie tylko na sprawdzianach, ale też w codziennych sytuacjach - np. przy obliczaniu rachunków czy zniżek.
Kolejność działań zapewnia jednoznaczność wyników w matematyce, niezależnie od tego, kto liczy. Podstawowe działania, które porządkuję, to: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie oraz nawiasy jako szczególny przypadek.
Kolejność wykonywania działań – podstawowe zasady krok po kroku
Spójrz na pełną kolejność, którą stosuję zawsze:
-
Nawiasy - najpierw obliczam to, co jest w nawiasach.
-
Potęgi i pierwiastki - potęgowanie i pierwiastkowanie wykonuję po nawiasach, ale przed pozostałymi działaniami.
-
Mnożenie i dzielenie - wykonuję je po nawiasach i potęgach, od lewej do prawej.
-
Dodawanie i odejmowanie - wykonuję na końcu obliczeń, także od lewej do prawej.
Zauważ, że kolejność działań to uzgodniona konwencja, a nie „prawda objawiona" - ale w szkole i na egzaminach muszę się do niej ściśle stosować. Potęgowanie wykonuje się przed mnożeniem i dzieleniem, co łatwo zapomnieć. Na przykład w wyrażeniu 2 · √9 + 5² najpierw liczę pierwiastek (√9 = 3) i potęgi (5² = 25), dopiero potem mnożenie (2 · 3 = 6), a na końcu dodawanie (6 + 25 = 31). Zasady kolejności działań są kluczowe zarówno w podstawowej, jak i w zaawansowanej matematyce.
Nawiasy i symbole grupujące – co zawsze robię jako pierwsze
Zawsze zaczynam obliczenia od tego, co jest w nawiasach - od najbardziej wewnętrznych nawiasów do zewnętrznych. Działania w nawiasach wykonuje się jako pierwsze, a nawiasy mają pierwszeństwo przed mnożeniem i dzieleniem.
W szkole spotkasz trzy rodzaju nawiasów:
|
Typ |
Znak |
Rola |
|---|---|---|
|
okrągłe |
( ) |
najczęstsze, podstawowe grupowanie |
|
kwadratowe |
[ ] |
obejmują nawiasy okrągłe |
|
klamrowe |
{ } |
zewnętrzna warstwa zagnieżdżenia |
W kolejności wykonywania działań traktuję je tak samo - służą tylko do porządkowania. Obliczenia w nawiasach traktuję jako oddzielne działania, a działania w nawiasach należy zacząć od najbardziej wewnętrznych.
Rozwiązanie przykładu 62 − 2(5 + 1 + 3): najpierw sumuję liczby w nawiasie (5 + 1 + 3 = 9), potem mnożę przez 2 (2 · 9 = 18), a na końcu odejmuję od 62 (62 − 18 = 44).
Pamiętaj, że kreska ułamkowa w ułamku piętrowym działa jak „niewidoczny nawias" - najpierw liczę całość licznika i mianownika. Podobnie symbol pierwiastka i wykładnik potęgi to znaki graficzne rodzaju „nawiasów" - dopiero po ich obliczeniu przechodzę dalej.
Mnożenie i dzielenie przed dodawaniem i odejmowaniem
Mnożenie i dzielenie ma pierwszeństwo w kolejności działań - to kluczowa reguły, którą musisz zapamiętać. Mnożenie wykonuje się przed dodawaniem i odejmowaniem. Dzielenie wykonujemy również przed dodawaniem i odejmowaniem. Dodawanie i odejmowanie wykonuje się na końcu obliczeń.
Przykład bez nawiasów: w wyrażeniu 5 × 3 + 4 × 2 najpierw wykonuję oba mnożenia (15 i 8), a dopiero potem dodawanie: 15 + 8 = 23.
Mnożenie i dzielenie są równorzędne - gdy w wyrażeniu pojawiają się oba, liczę je od lewej do prawej. Dla 48 : 4 · 2 najpierw dzielenie wykonujemy (48 : 4 = 12), potem mnożenie (12 · 2 = 24).
Dodawanie i odejmowanie mają ten sam priorytet i wykonuję je od lewej do prawej. Przy 7 − 2 + 3 liczę: (7 − 2) = 5, potem 5 + 3 = 8. Nie wolno automatycznie robić „najpierw dodawanie, potem odejmowanie" - decyzję podejmuję wyłącznie na podstawie położenia działań od lewej do prawej.
Kolejność działań tego samego poziomu – zasada „od lewej do prawej"
Działania „tego samego poziomu" to pary: dodawanie z odejmowaniem, mnożenie z dzieleniem, potęgowanie z pierwiastkowaniem. Działania tego samego poziomu wykonuje się od lewej do prawej - bez przeskakiwania.
Jeżeli w wyrażeniu mam kilka mnożeń i dzieleń z rzędu, liczę je po kolei od lewej do prawej. Analogicznie zbiór dodawań i odejmowań rozwiązuję kolejno.
Mogę zmienić kolejność tylko wtedy, gdy świadomie stosuję własności działań (np. przemienność dodawania lub mnożenia) i wiem, że nie zmieniam wyniku. Na początku nauki i na sprawdzianach najlepiej rozpisać wszystko krok po kroku - to da mi wprawy i pewność.
Kolejność wykonywania działań – przykłady obliczane krok po kroku
Zróbmy teraz kilka konkretnych obliczeń. Zobacz, jak stosuję reguły w praktyce.
Przykład 1 - oblicz 2 + 3 × 5:
-
Najpierw mnożenie: 3 × 5 = 15
-
Potem dodawanie: 2 + 15 = 17
-
Poprawny wynik to 17, a nie 25.
Przykład 2 - oblicz 62 − 2(5 + 1 + 3):
-
Działanie w nawiasie: 5 + 1 + 3 = 9
-
Mnożenie: 2 · 9 = 18
-
Odejmowanie: 62 − 18 = 44
Przykład 3 - oblicz 10 − 3 + 4:
-
Od lewej: 10 − 3 = 7, potem 7 + 4 = 11
-
Wynik jest równe 11.
Przykład 4 - oblicz 3² + √16 · 2:
-
Potęga: 3² = 9
-
Pierwiastek: √16 = 4
-
Mnożenie: 4 · 2 = 8
-
Dodawanie: 9 + 8 = 17
Zadania do samodzielnego rozwiązania (z odpowiedziami)
Przygotowuję kilka krótkich zadań. Dzięki nim przećwiczysz kolejność wykonywania działań i nabierzesz wprawy.
Zadania proste (bez nawiasów):
-
Oblicz: 4 + 6 × 3
-
Oblicz: 20 − 2 × 5 + 1
Zadania z nawiasami:
-
Oblicz: 3 × (4 + 5) − 10
-
Oblicz: (8 − 2) × 7 + 3
Zadania z potęgami:
-
Oblicz: 2² + 3 × (1 + 4)
Odpowiedzi: 1) 22, 2) 11, 3) 17, 4) 45, 5) 19. Sprawdź, czy Twoja odpowiedź się zgadza - jeśli nie, wróć do zasad i przelicz każde zadanie od początku.
Najczęstsze błędy i pułapki przy kolejności wykonywania działań
Nawet osoby dobrze znające teorię popełniają powtarzające się błędy. Oto te, na które zwracam szczególną uwagę:
-
Dodawanie przed mnożeniem - chociaż dodawanie stoi „pierwsze z lewej", mnożenie ma wyższy priorytet. Podkreślam sobie na kartce wszystkie mnożenia i dzielenia, zanim przejdę do reszty.
-
Mylenie 2(3 + 4) z 2 + 3 + 4 - zapis 2(3 + 4) to mnożenie, nie dodawanie. Wartość w nawiasie mnożę przez liczbę stojącą przed nawiasem.
-
Brak uwagi przy ułamkach i pierwiastkach - zawsze najpierw liczę to, co tworzy liczbę pod pierwiastkiem lub w liczniku i mianowniku ułamka. To zostało wykonane przed jakimkolwiek zewnętrznym działaniem.
-
Różnice między kalkulatorami - w przypadku różnych aplikacji na telefonie czy arkuszy kalkulacyjnych możesz dostać inny wynik. Zawsze dodawaj własne nawiasy, zgodnie z tym, jak rozumiesz wyrażenie.
FAQ – najczęstsze pytania o kolejność wykonywania działań
Poniżej odpowiadam na różne pytania, które regularnie wracają u uczniów i nie zostało wprost omówione w tekście powyżej.
Czy naprawdę zawsze muszę liczyć „po kolei", tak jak narzuca kolejność działań?
Mogę stosować skróty - np. korzystać z przemienności mnożenia - ale tylko wtedy, gdy dobrze rozumiem reguły i nie zmieniam wyniku. Na początku nauki najlepiej rozpisać wszystkie kroki po kolei: nawiasy → potęgi → mnożenie i dzielenie → dodawanie i odejmowanie. Nauczyciele często przyznają punkty nie tylko za poprawny wynik, ale też za poprawne rozwiązanie krok po kroku. Z kolei wraz z rosnącą wprawą możesz sobie pozwolić na łączenie kroków.
Czym jest skrót PEMDAS/BODMAS i czy mam go stosować w polskiej szkole?
PEMDAS i BODMAS to anglojęzyczne mnemotechniki pomagające zapamiętać kolejność wykonywania działań. PEMDAS oznacza: Parentheses, Exponents, Multiplication/Division, Addition/Subtraction. W Polsce na lekcjach matematyce zwykle nie używamy tych skrótów - ale sama zasada jest taka sama. Jeśli komuś łatwiej zapamiętać regułę dzięki takiemu skrótowi, jak najbardziej może z niego korzystać prywatnie. Wielu autorów podręczników anglojęzycznych traktuje te skróty jako podstawowe narzędzie dydaktyczne - w Polsce transkrypcja tych zasad na język polski po prostu odbywa się słownie.
Jak traktować zapis 2(3+4) – czy to mnożenie, czy dodawanie?
Zapis 2(3 + 4) oznacza mnożenie liczby 2 przez wartość w nawiasie, czyli 2 · (3 + 4). Najpierw obliczam działanie w nawiasie: 3 + 4 = 7, a potem wynik mnożę przez 2 i otrzymuję 14. Taki „niejawny" zapis mnożenia często pojawia się przy wyrażeniach algebraicznych (np. 3(x + 2)), więc warto się do niego przyzwyczaić. W sytuacjach niejednoznacznych - np. 6 ÷ 2(1 + 2) - najlepiej dodać nawiasy, żeby jasno określić znaczenie całość wyrażenia.
Dlaczego różne kalkulatory czasem dają inny wynik tego samego działania?
Różne kalkulatory mogą stosować inne zasady - starsze modele nie zawsze poprawnie interpretują liczbę potęg czy nawiasów. Aby uniknąć nieporozumień, zawsze warto wprowadzać wyrażenie z dodatkowymi nawiasami. W razie wątpliwości najlepiej rozpisać wyrażenie na kartce krok po kroku, a dopiero potem sprawdzić wynik. Zgodnie z zasadami obowiązującymi w polskiej edukacji, to Twoja wiedza o kolejności działań jest ważniejsza niż to, co wyświetli kalkulator.
Co zrobić, jeśli nie pamiętam kolejności działań podczas sprawdzianu?
Na początku pracy zapisz sobie w rogu kartki: „nawiasy → potęgi → ×, ÷ → +, −". Możesz też zapamiętać zdanie: „Najpierw nawiasy, potem potęgi, później mnożenie i dzielenie, na koniec dodawanie i odejmowanie". Przećwicz kilka przykładów przed sprawdzianem - dzięki temu kolejność wykonywania działań stanie się odruchem, a nie czymś, co musisz za każdym razem odtwarzać. To pozwoli Ci pisać pewnie i bez stresu, na licencji własnej wprawy.