• Język polski
• Starożytność
• Średniowiecze
• Renesans
• Barok
• Oświecenie
• Romantyzm
• Pozytywizm
• Młoda Polska
• XX-lecie
• Współczesność

• Języki Obce
• Angielski
• Niemiecki
• Francuski
• Hiszpanski
• Włoski
• Rosyjski
• Matematyka
• Geografia
• Historia
• Chemia

• Fizyka
• Biologia
• Informatyka
• WOS
• Religia
• Pozostałe
• Przysposobienie Obronne
• Muzyka i Sztuka
• Przesiębiorczość
• Ochrona Środowiska
• Inne

Matematyka

Jak podstawowe pojęcia matematyczne, jak liczba czy najprostsze - figury geometryczne, powstały na długo przed pojawieniem się tekstów matematycznych. Najdawniejsze matematyczne teksty pisane, » czytaj dalej

Jednostki długości: 1km=1000m=100000cm 1m=10dm=100cm=0,001km 1dm=10cm=100mm=0,1m 1cm=10mm=0,1dm=0,01m 1mm=0,1cm=0,01dm=0,001m Jednostki masy i ciężaru 1t=10q=1000kg 1q=0,1t=100kg 1kg=100dag=1 » czytaj dalej

1. DEFINICJE Wielomian jest to funkcja w postaci: W(x)=anxn+an-1xn-1+...+a2x2+a1x1+a0x0, gdzie an 0; akxk - współczynnik wyrazu stopnia k ; ak - współczynnik; a0x0= a0 - wyraz woln » czytaj dalej

Równoważność Lematu Kuratowskiego-Zorna z Pewnikiem Wyboru – Dowód   LK-Z. Niech (A ≤) będzie niepustym zbiorem uporządkowanym, w którym wszystkie łańcuchy są ogra » czytaj dalej

Dowód nieprzeliczalności przedziału domkniętego [0,1]. Twierdzenie. Przedział rzeczywisty [0,1] jest zbiorem nieprzeliczalnym, tj. |[0,1]| > alef zero. DOWÓD. Poprowadzimy dow&oa » czytaj dalej

Ciągi arytmetyczne : an+1-an>0 - ciąg rosnący an+1-an |a→|*|b→| cos(Ëa→;b→) a→◦b→=a1b1+a2b2 Ax+By+C=0 AiB są współczynnikami wektora Prostopadłego » czytaj dalej

Funkcje sumy kątów: Sin (x + y) = sinx*cosy + cosx*siny Cos (x + y) = cosx*cosy – sinx*siny Tg (x + y) = tgx + tgy/ 1 – tgx*tgy , jeżeli cosx ¹ 0, cosy ¹ 0, cos (x + y) » czytaj dalej

Wzorami skróconego mnożenia nazywamy regułyrachunkowe umożliwiające uproszczenie rachunków na liczbach lub wyrażeniach. Najczęściej stosujemy następujące wzory: (a+b)2 = a2 + 2ab +b2 » czytaj dalej

Przykładami wyrażeń algebraicznych są: - liczba 3 - suma a i b a + b - różnica a i b a - b - iloczyn a i b ab - iloraz a przez b a : b Litery wystepujące w wyrażeniach algebraicznych nazy » czytaj dalej

ZYGMUNT JANISZEWSKI Jednym z matematyków, którzy wywarli głęboki wpływ na rozwój matematyki polskiej, był Zygmunt Janiszewski. Urodził się on w roku 1888 w Warszawie, a po uzyska » czytaj dalej

Ciąg nieskończony - jest to funkcja która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych (bez zera) w pewien nie pusty zbiór Y. Wartość tej funkcji dla argumentu n nazywamy n- tym (entym) wy » czytaj dalej

PITAGORAS z SAMOS, żył w latach 570-496 p. n. e. Pozostawił po sobie prąd filozoficzno-religijny związany ze swoim imieniem, trwający przez dwa wieki. Trudno jest stwierdzić co dokonał sam Pitagoras, » czytaj dalej

Kąty wpisane i środkowe : 1. Jeżeli kąt wpisany i środkowy są oparte na tym samym łuku to miara kąta środkowego jest 2x większa niż miara kąta wpisanego. 2. Kąty wpisane oparte na tym samym łuku mają » czytaj dalej

Powszechnie wiadomo, że liczby można podzielić na pewne zbiory. Np. liczby naturalne, wymierne, rzeczywiste. Powszechnie wiadomo też, że niektóre z tych zbiorów mogą zawierać inne. Np. l » czytaj dalej

LICZBA pi Jest to chyba najbardziej znana liczba niewymierna i jednocześnie najstarsza ze znanych nam cyfr tego typu (liczy sobie ok 4000 lat - w Egipcie znaleziono zapiski na jej temat dotowane na t » czytaj dalej

Okrąg- to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny jednakowo odległych od danego punktu zwanego środkiem okręgu. Środek i promień okręgu nie należą do okręgu. Koło- to część płaszczyzny og » czytaj dalej

Galileo Galilei, bardziej niż ktokolwiek inny, zasługuje na miano ojca nowoczesnej nauki. Przyczyną jego głośnego konfliktu z Kościołem katolickim byty podstawowe zasady filozofii, którą głosił » czytaj dalej

Sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej (a) leżącej na przeciw tego kąta do długości przeciwprostokątnej (c). sina=a/c Cosinusem kąta ostrego » czytaj dalej

1. y=arcsinx wtedy i tylko wtedy gdy x=siny Dziedziną jest zbiór 2. y=arccosx wtedy i tylko wtedy gdy x=cosy Dziedziną jest zbiór 3. y=arctgx wtedy i tylko wtedy gdy x=tgy Dziedzi » czytaj dalej

Historia matematyki sięga czasów zamierzchłych, odkąd ludzie porównywali wielkości, mierzyli, liczyli przedmioty i wyciągali wnioski; w starożytnej Babilonii i Egipcie rozwinęła się tech » czytaj dalej

Cecha podzielności przez 2: liczba jest podzielna przez 2, gdy jej ostatnia cyfra jest podzielna przez 2 lub jest równa 0 (liczba jest wtedy parzysta) np.: 208 ,1068 , 2067710 Cecha podz » czytaj dalej

Biografia Platona: Platon (ok. 437 - 347 p.n.e.), filozof grecki, swoje zamiłowania do filozofii zawdzięcza Sokratesowi. Po śmierci Sokratesa odbył liczne podróże podczas których poznał » czytaj dalej

Urodzony około 287 r. p.n.e. na Sycylii. Największy matematyk i inżynier starożytnej Grecji. Zmarł w 212 r. p.n.e., w wieku około 75 lat, zabity przez żołnierza rzymskiego. Archimedes urodził się w » czytaj dalej

Wzory na pola figur obrotowych P=pi V stożka= 1/3Pr2 * H Pb stożka= Prl Pc stożka= Prl + Pr2 V kuli= 4/3Pr3 P kuli= 4Pr2 V walca= Pr2 * H P walca= 2Pr(H+r) » czytaj dalej

1. Układ oznaczony to taki układ równań, który ma tylko jedno rozwiązanie. (rozwiązaniem jest para liczb) 2. Układ nieoznaczony to taki układ równań, który ma nieskończen » czytaj dalej

Częstość zdarzeń: Takie doświadczenie, które może zakończyć się jednym z możliwych wyników:w 1, w 2, w 3, ..., ale nie wiadomo którym i przewidzenie tego jest praktycznie lub t » czytaj dalej

Liczbę r nazywamy pierwiastkiem m-krotnym wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy gdy wielomian jest podzielny przez (x-r)m, a nie jest podzielny przez (x-r)m+1. Liczbę m nazywamy krotnością Ö -a » czytaj dalej

Długość wektora o współrzędnych A(x1,y1), B(x2,y2): Działania na wektorach: Jeśli A(x1,y1), B(x2,y2) to: Dodawanie wektorów: i ; kÎ R       » czytaj dalej

Aby liczbę zamienić na procent, należy tę liczbę pomnożyć przez 100 i dopisać symbol %. ź = ź ˇ 100% = 25%   Aby procent zamienić na liczbę, należy liczbę wyrażającą procent pomnożyć przez 1 » czytaj dalej

a>0, a1 1, b>0 Własności logarytmów jeżeli a>0, a1 1, b>0, nÎ N to Wzór na zmianę podstawy logarytmu       » czytaj dalej

W zbiorze liczb wymiernych określamy działania A , Ä , - w sposób następujący: aA b=a+b+1 aÄ b=a+b+ab ao b=(a+b)/2 Elementem neutralnym (modułem) dodawania jest liczba zero. x+0=x » czytaj dalej

Wariacja k-elementowa bez powtórzeń: Jeśli zbiór X składa się z n różnych elementów, to wariacją k-elementową bez powtórzeń nazywamy każdy ciąg k różnych el » czytaj dalej

Definicja Heinego: Liczbę a nazywamy granicą funkcji f: AŽ R w punkcie x0, jeśli dla każdego ciągu (xn) argumentów funkcji f zbieżnego do x0, o wyrazach różnych od x0, odpowiadający m » czytaj dalej

Promieniem wodzącym punktu P nazywamy odległość tego punktu od początku układu współrzędnych i oznaczamy: r; r>0. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w układzie współrzędnych: sina » czytaj dalej

Funkcją liniową nazywamy funkcję postaci y=ax+b, xÎ R, yÎ R, bÎ R. Wykres f.l. przecina oś OY w punkcie P(0,b) i jest nachylona do osi OX pod kątem a , dla którego tga =a. » czytaj dalej

y=ax2+bx+c, gdzie xÎ R, a, b, cÎ R, a1 0. Postać kanoniczna: Wierzchołek paraboli: Postać iloczynowa: dla D >0 y=a(x-x1)(x-x2) dla D =0 y=a(x-x0)=a(x-x0)(x-x0) dla D » czytaj dalej

Sposoby opisywania funkcji: a) za pomocą grafu b) za pomocą tabeli c) za pomocą wykresu d) za pomocą wzoru e) za pomocą opisu słownego   Funkcja różnowartościowa: Odwzorowanie f:XŽ » czytaj dalej

Odległość dwóch punktów na płaszczyźnie: Jeżeli A=(a1,a2), B=(b1,b2) to odległość punktów A i B: Środek odcinka AB ma współrzędne: Odległość trzech punktów na » czytaj dalej

N - Liczby naturalne N={0,1,2,3,4......} liczby pierwsze,które mają dwa dzielniki,liczbę 1 i samą siebie Liczba pierwsza to 2 C-liczby całkowite C={0,1,-12,-2,3,-3.....} W-liczby wymierne » czytaj dalej

(a + b)2 =  a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 (a + b)(a - b) = a2 - b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) a3 - b3 = (a - » czytaj dalej

 Poniżej zamieszczam kilka wzorów redukcyjnych. Pozwalają na znajdowanie wartości funkcji trygonometrycznych kątów a>90 znając wartości funkcji kątów ostrych. Znajomość wzor& » czytaj dalej

Twierdzenie Pitagorasa wykorzystujemy chcąc  obliczyć jeden z boków trójkąta prostokątnego używając bardzo prostego wzoru: a(do potęgi 2)+ b(do potęgi 2) = c(do potęgi 2) gdzie a » czytaj dalej

Tales z Miletu Tales znany nam z Twierdzenia Talesa urodził się około 620 roku p.n.e., a zmarł około 540 roku przed naszą erą. Był on greckim filozofem oraz matematykiem. Prawdopodobnie Tales to pie » czytaj dalej

Jak obliczyć średnią ocen? (...)Pewien uczeń z matematyki miał następujące oceny: 5,4,4,5,1,2,6,3,4,5,5 Aby obliczyć średnią ocen trzeba: a) Dodać wszystkie oceny; b) Podzielić wartość dodanych o » czytaj dalej

SZEREGI CZASOWE Przebieg zjawisk fizycznych można opisać za pomocą modeli matematycznych. W każdym momencie czasu prawie dokładnie możemy obliczyć wartość jakiejś zmiennej zależnej od niego. Ze wzglę » czytaj dalej

W - wyznacznik główny Wx - wyznacznik x Wy - wyznacznik y { a x + b y = c d x + e y = f | a b | W= | d e | = a * e - d * b | c b | Wx= | f e | = c * e - f * b | a c | Wy= | d f | = a » czytaj dalej

W metodzie przeciwnych współczynników budujemy dwa równoważne układy równań takie, że w jednym są przeciwne współczynniki przy niewiadomej x, a wdrugim przy niewiado » czytaj dalej

 { x - y  = 2 2x + y = -2 - wyznaczamy jedną niewiadomą z któregoś równania { x = 2 + y 2x + y = -2 - podstawiamy wyznaczone wyrażenie do drugiego równania układu » czytaj dalej

Graniastostosłup S=2P+M V=Ph Prostopadłościan S=2ab+2(a+b)h V=abh d=pierwiastek z a kwadrat + b kwadrat + c kwadrat Sześcian S=6a kwadrat V=a sześcian d=a pierwiastek z 3 Ostrosłup S=P+M » czytaj dalej

Pola i obwody figur P = pole powierzchni całkowitej; H = wysokość; Pp = pole podstawy; Pb = pole powierzchni bocznej; a = długość krawędzi bocznej; O = obwód; a = długość krawędzi bocznej; d1, » czytaj dalej