Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Zadania optymalizacyjne – przykłady

Ostatnio komentowane
kappa xdddddddd
kk • 2016-12-07 19:00:41
Do d**y
Hn 88H • 2016-12-06 20:48:20
Polecam
Ola6a • 2016-12-05 19:19:19
super
sr • 2016-12-05 18:58:48
Dzięki za pomoc!
Uczeń • 2016-12-05 17:25:49
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Zadania optymalizacyjne – przykłady

Jednym z podstawowych zastosowań rachunku różniczkowego są tzw. zadania optymalizacyjne, a więc zadania polegające na zoptymalizowaniu pewnych wielkości.

 

Przykład:

Kiedy prostokąt o obwodzie 2s ma największe pole?

Jeśli wprowadzimy oznaczenia jak na poniższym rysunku to pole prostokąta wynosić będzie ab oraz 2s = 2(a+b), zatem s = a+b.

 

Zauważmy też, że 0<a<s i 0<b<s.

Chcemy zmaksymalizować pole prostokąta, a więc szukamy maksimum funkcji P.

Jakim wzorem wyraża się P? Aby uzyskać tą informację przekształćmy zapisane wyżej zależności:

s = a+b \Rightarrow b = s-a

P = ab  \Rightarrow P=a(s-a)=as-a^2.

To jest szukana funkcja, przy czym a traktujemy tutaj jako zmienną, natomiast s jako parametr (stałą).

Policzmy pochodną:

P' = -2a + s = 0

Stąd a = \frac2s, ale jednocześnie s = a +b, zatem a = b.

Zatem spośród prostokątów o danym obwodzie 2s największe pole ma kwadrat o boku a.

Przy rozwiązywaniu zadań optymalizacyjnych trzeba zatem tak przekształcać sformułowane w opraciu o dane zależności by dojść do funkcji, która wyraża optymalizowaną wielkość. Należy przy tym pamiętać o zapisaniu odpowiednich warunków (np. długość boku musi być liczbą dodatnią, itd.). Następnie wyznacza się ekstremum znalezionej funkcji uwzględniając przyjęte wcześniej założenia.

 

Zadanie:

Jakie wymiary powinna mieć puszka w kształcie walca o objętości 0,5 l aby zużyć jak najmniej materiału do jej wytworzenia?

 

Odpowiedzi:

r =  \sqrt[3]{\frac1{4 \pi}} dm, H =  \sqrt[3]{\frac2{ \pi}} dm

 

Polecamy również:

Komentarze (0)
5 + 2 =