Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Wzory redukcyjne funkcji trygonometrycznych – przykłady, zadania

Ostatnio komentowane
takie se
szpilllla • 2016-12-09 15:16:18
NJE WJEM IAK TO ÓIĄĆ
kapi gsóp • 2016-12-09 07:09:04
Przydało się ^^
Psotkaa • 2016-12-08 13:59:22
kappa xdddddddd
kk • 2016-12-07 19:00:41
Do d**y
Hn 88H • 2016-12-06 20:48:20
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Wzory redukcyjne funkcji trygonometrycznych – przykłady, zadania

 

Wzory redukcyjne pozwalają „zredukować” funkcje trygonometryczne dowolnego kąta do wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego (z przedziału [0;\frac \pi 2)).

 

Korzystając ze wzorów na sinus i cosinus sumy kątów (bądź z własności wykresów funkcji) wyprowadzić można następujące wzory:\sin(\frac \pi 2 + \alpha) = \cos \alpha

\cos(\frac \pi 2 + \alpha) = - \sin \alpha

\operatorname{tg }(\frac \pi 2 + \alpha) = - \operatorname{ctg } \alpha

\operatorname{ctg }(\frac \pi 2 + \alpha) = - \operatorname{tg } \alpha

Dowód (tego, że \sin(\frac \pi 2 + \alpha) = \cos \alpha):

\sin(\frac \pi 2 + \alpha) = \sin \frac \pi 2\cos \alpha + \cos \frac \pi 2\sin \alpha =
1 \cdot \cos \alpha + 0 \cdot \sin \alpha = \cos \alpha

Podobnie udowodnić można wzór dla cosinusa.

 

Dowód (dla wzoru \operatorname{tg }(\frac \pi 2 + \alpha) = - \operatorname{ctg } \alpha):

\operatorname {tg} (\frac \pi 2 +  \alpha ) =  \frac{\sin (\frac \pi 2 +  \alpha )}{\cos (\frac \pi 2+  \alpha )} = 
 \frac{\cos  \alpha }{- \sin \alpha} = -\operatorname {ctg} \alpha  

Podobnie dowodzi się wzoru dla cotangensa.

Wprost z wykresów funkcji trygonometrycznych (i z podstawowych własności tych funkcji) wynikają następujące wzory:\sin(\pi  + \alpha) = - \sin \alpha    \sin(\pi  - \alpha) =  \sin \alpha

\cos(\pi  + \alpha) = - \cos \alpha   \cos(\pi  - \alpha) = - \cos \alpha

\operatorname{tg }( \pi + \alpha) =  \operatorname{tg } \alpha         \operatorname{tg }( \pi - \alpha) = - \operatorname{tg } \alpha

\operatorname{ctg }( \pi + \alpha) =  \operatorname{ctg } \alpha     \operatorname{ctg }( \pi - \alpha) = - \operatorname{ctg } \alpha

Powyższe wzory można także wyprowadzić korzystając z wzorów na sinus i cosinus sumy.

 

Wzory redukcyjne są wykorzystywane do obliczania wartości funkcji kąta innego niż ostry.

 

Przykład:

\cos \frac{4}{3} \pi = \cos (\pi +\frac{\pi}{3} ) = - \cos \frac{\pi}{3}   =  - \frac{1}{2}

 

Zadania:

Obliczyć: 

a) \sin225^\circ,

b) \operatorname {ctg} (-210^\circ),

c) \cos  \frac{3}{4} \pi.

 

Odpowiedzi:

a) - \frac{ \sqrt{2} }{2} ,

b) - \sqrt{3}

c) - \frac{ \sqrt{2} }{2} .

Polecamy również:

Komentarze (0)
5 + 4 =