Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Własności funkcji ciągłych

Ostatnio komentowane
www.wp.pl
as • 2018-01-15 17:25:25
Ty fajny
Fajnioszek • 2018-01-14 21:10:46
Śmierć Husa ukazuje prawdę o papiestwie, zresztą po dziś dzień te funkcje się nie z...
Małgorzata Konstańczak. • 2018-01-14 12:54:49
bardzo fajne i pomogło mi wypełnić zeszytb lektur
killer • 2018-01-14 12:44:13
@Krzysiek, dziękujemy za zwrócenie uwagi. Już poprawione.
ADMIN • 2018-01-15 09:04:30
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Własności funkcji ciągłych

Z funkcjami ciągłymi związane są trzy podstawowe twierdzenia analizy matematycznej, tj. twierdzenie Darboux oraz dwa twierdzenia Weierstrassa o funkcji ciągłej.

 

Twierdzenie Darboux

Jeśli funkcja f jest ciągła na przedziale [a,b] oraz f(a) \neq f(b) to funkcja ta przyjmuje w przedziale (a,b) każdą wartość c taką, że

jeśli f(a) < f(b) to f(a) \le c \le f(b) oraz

jeśli f(b) < f(a) to f(b) \le c \le f(a).

 

Innymi słowy dla argumentów z przedziału (a,b) wartości funkcji znajdują się pomiędzy f(a)f(b).

 

Twierdzenie Darboux pociąga za sobą następujący wniosek:

Jeśli f jest ciągła na [a,b] oraz f(a)<0 \wedge f(b)>0 lub f(a)>0 \wedge f(b)<0 to dla przynajmniej jednego c \in(a,b) mamy f(c) = 0.

 

Wniosek ten bywa szczególnie przydatny przy dowodzeniu tzw. twierdzeń egzystencjalnych, tj. takich, w których dowodzimy istnienia czegoś (jakiegoś obiektu) bez wskazywania konkretnego jego przykładu.

 

Przykład:

Niech f(x) = 3x^2+2x-4.

Zauważmy, że f(0) = 0 + 2 -4 = -2 <0 oraz f(1) = 3 + 2 - 4 = 1 >0.

Funkcja kwadratowa jest ciągła w całej swojej dziedzinie, a zatem w szczególności jest ciągła w przedziale [0,1], którego krańce przyjmują wartości odpowiednio powyżej i poniżej zera, zatem funkcja f ma w tym przedziale miejsce zerowe.

 

I twierdzenie Weierstrassa:

Funkcja ciągła na przedziale domkniętym i ograniczonym jest ograniczona.

 

II twierdzenie Weierstrassa:

Funkcja ciągła na przedziale domkniętym i ograniczonym przyjmuje wartość największą oraz najmniejszą.

 

Oba twierdzenia opisują zachowanie funkcji w przedziałach typu [a,b]. Szczególnie istotne w teorii ekstremów funkcji jest drugie twierdzenie, które często bywa stosowane w dowodach pewnych innych twierdzeń.

Polecamy również:

Komentarze (0)
5 + 5 =