Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Wariacje bez powtórzeń – definicja, wzór, zadania

Ostatnio komentowane
Do d**y
Hn 88H • 2016-12-06 20:48:20
Polecam
Ola6a • 2016-12-05 19:19:19
super
sr • 2016-12-05 18:58:48
Dzięki za pomoc!
Uczeń • 2016-12-05 17:25:49
Moja nauczcielka zagroziła mi że pozwie mnie do sądu jak na wypracowania będe kopiowal...
drtjfghjfcghfcgh • 2016-12-05 15:17:27
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Wariacje bez powtórzeń – definicja, wzór, zadania

Def.: k-elementową wariacją bez powtórzeń zbioru n-elementowego nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg utworzony z różnych elementów tego zbioru (przy czym k \le n).

 

Twierdzenie: Ilość k-elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego wynosi n \cdot (n-1) \cdot ... \cdot (n-k+1), tzn.

V_n^k = \frac {n!}{(n-k)!}

 

Innymi słowy wariacja bez powtórzeń jest uogólnieniem permutacji na ciągi krótsze niż n (dla n = k dostajemy właśnie wzór na permutacje).

 

Przykład:

Wypiszmy wszystkie dwuelementowe wariacje bez powtórzeń zbioru \left \{A,B,C  \right \}:

(A,B)(B,A)(A,C)(C,A)(B,C)(C,B) - i rzeczywiście jest ich dokładnie \frac {3!}{(2-3)!} = 6.

 

Uwaga 1: Liczenie wariacji bez powtórzeń, podobnie jak w przypadku permutacji, opiera się na regule mnożenia. W istocie, gdybyśmy mieli utworzyć ciąg k-elementowy z elementów zbioru mocy n (tj. n-elementowego), pierwszy element moglibyśmy wybrać na n sposobów, drugi na n-1, itd., a ostatni (bo wyraliśmy już k-1 elementów) na n-(k-1) = n-k+1, dokładnie tak jak podaje reguła mnożenia.

 

Uwaga 2: Na wariacje bez powtórzeń możemy patrzeć także jak na połączenie kombinacji z permutacjami i zachodzi wówczas V_n^k = C_n^k\cdot P_k. Interpretacja tego faktu jest następująca - wybieramy najpierw k-elementowe podzbiory zbioru n-elementowego, a potem dla każdego z tych podzbiorów zliczamy jego permutacje.

 

Zadanie: 

Obliczyć:

a) V_7^3,

b) V_6^2.

 

Odpowiedzi:

a) 210,

b) 30.

Polecamy również:

Komentarze (0)
1 + 4 =