Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Twierdzenie o trzech ciągach – przykłady, zadania

Ostatnio komentowane
brak odpowiedzi do "wotum zaufania"
spec256 • 2017-05-29 10:19:16
LOL
Antonis • 2017-05-28 11:22:09
elcio pomelcio
Naciok • 2017-05-28 10:32:20
jprdl co za debil musiał to pisać
hujek • 2017-05-27 15:02:09
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Twierdzenie o trzech ciągach – przykłady, zadania

Twierdzenie: Jeśli dane są trzy ciągi a_nb_nc_n takie, że a_n \le c_n \le b_n dla każdego n oraz wiadomo, że  \lim_{n \to \infty} a_n= \lim_{n \to \infty} b_n = g to  \lim_{n \to \infty} c_n=g.

 

Idea tego twierdzenia jest następująca - jeśli potrafimy wskazać dla danego ciągu dwa inne ciągi, które go ograniczają (z góry i z dołu), a których granice są nam znane i sobie równe, to wówczas także ten ciąg ma taką samą granicę. Twierdzenie to bywa także nazywane twierdzeniem o dwóch policjantach i złodzieju (kiedy dwóch policjantów prowadzących złodzieja wchodzi do celi, wówczas i złodziej znajduje się w celi), twierdzeniem o kanapce, itd.

 

Przykład:

Obliczyć granicę ciągu a_n =  \sqrt[n]{5^n + 7^n} .

Zauważmy, że  \sqrt[n]{7^n}  \le \sqrt[n]{5^n + 7^n} oraz  \sqrt[n]{5^n+7^n}  \le \sqrt[n]{7^n + 7^n} =\sqrt[n]{2}\cdot\sqrt[n]{7^n} , przy czym granice \sqrt[n]{7^n}\sqrt[n]{2}\cdot\sqrt[n]{7^n}obie są równe 7.

Zatem i ciąg a_n ma ganicę właściwą równą 7.

 

Zadanie:

Obliczyć następujące granice:

a)  \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2^n+3^n+4^n},

b)  \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{5+\sin n}.

 

Odpowiedzi:

a) 4,

b) 1.

Polecamy również:

Komentarze (0)
3 + 2 =