Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Twierdzenie cosinusów – dowód, zadania

Ostatnio komentowane
aale fajne
nwm • 2016-12-04 13:32:24
nojs
lol • 2016-12-04 11:05:26
ten nademną to pedał XD
mojstaryjestfanatykiemwedkarstwa • 2016-12-03 17:51:08
elo
lolek • 2016-12-03 10:57:03
I tak nie zdacie cfele XD
Ruhaczmateg • 2016-12-01 17:33:21
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Twierdzenie cosinusów – dowód, zadania

 

Drugim z ważnych twierdzeń geometrycznych związanych z funkcjami trygonometrycznymi jest twierdzenie cosinusów, będące uogólnieniem twierdzenia Pitagorasa na trójkąty o dowolnych kątach.

 

 

Twierdzenie: W trójkącie kwadrat dowolnego boku równa się sumie kwadratów dwóch pozostałych boków pomniejszonej o podwojony iloczyn tych boków i cosinus kąta zawartego między nimi.

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos  \alpha

b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos  \beta

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos  \gamma

 

Dowód:

Dowód przeprowadzimy dla równości a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos  \alpha (dla pozostałych dwóch analogicznie).

Należy wziąć pod uwagę trzy sytuacje, w zależności od miary kąta  \alpha .

 

Gdy kąt ten jest kątem prostym, sytuacja trywializuje się, a równość sprowadza się do twierdzenia Pitagorasa (\cos 90^\circ = 0a^2 = b^2 + c^2).

 

 

 Zdecydowanie ciekawsze są przypadki, gdy kąt  \alpha  jest kątem ostrym lub kątem rozwartym. 

  

 

 

 

Gdy kąt  \alpha  jest ostry dzielimy trójkąt wysokością na dwa mniejsze w sposób taki, jak na rysunku. 

 

 

 

Wówczas \cos  \alpha =  \frac{x}{c} , zatem x = c \cos  \alpha .

Dla każdego z powstałych trójkątów stosujemy twierdzenie Pitagorasa:

x^2 + h^2 = c^2,

(b-x)^2 + h^2 = a^2.

Po przekształceniu obu równań przyjmują one postać

h =  \sqrt{c^2 - x^2} ,

h =  \sqrt{a^2 - (b-x)^2} .

Zatem

 \sqrt{c^2 - x^2}  =  \sqrt{a^2 - (b-x)^2}  

{c^2 - x^2}  =  {a^2 - (b^2 -2bx+ x^2})

Przenosząc odpowiednie wyrażenia na odpowiednie strony dostajemy

 

a^2 = c^2 - x^2 + b^2 - 2bx + x^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos  \alpha

 

Gdy  \alpha jest kątem rozwarty drugi trójkąt tworzymy prowadzący wysokość na przedłużenie boku 

Polecamy również:

Komentarze (0)
1 + 2 =