Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Twierdzenie Bezouta

Ostatnio komentowane
kappa xdddddddd
kk • 2016-12-07 19:00:41
Do d**y
Hn 88H • 2016-12-06 20:48:20
Polecam
Ola6a • 2016-12-05 19:19:19
super
sr • 2016-12-05 18:58:48
Dzięki za pomoc!
Uczeń • 2016-12-05 17:25:49
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Twierdzenie Bezouta

Z dzieleniem wielomianów związane jest twierdzenie Bezouta opisujące zależność między pierwiastkami wielomianu, a czynnikami występującymi w jego rozkładzie.

 

Każdy wielomian można rozłożyć na czynniki. Przypomnijmy:

Twierdzenie: Dla danych wielomianów W(x) i Q(x), gdzie Q(x) nie jest wielomianem zerowym, istnieją wielomiany P(x)R(x) takie, że zachodzi

W(x) = P(x)  \cdot  Q(x) + R(x), przy czym R(x) jest wielomianem zerowym lub stopień wielomianu P(x) jest mniejszy od stopnia wielomianu R(x).

 

Prawdziwe jest także następujące twierdzenie.

Twierdzenie: Jeśli R(x) jest resztą z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian x - a, to R(x) = W(a).

 

Po tych wstępnych rozważaniach możemy przejść do właściwego twierdzenia. 

 

Twierdzenie Bezouta: Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x - a.

 

Dowód:

Dowód  \Rightarrow

Załóżmy, że liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x) - zatem W(a) = 0. Z twierdzenia o rozkładzie wielomianu wynika, że istnieją: wielomian P(x) oraz stała R(x) takie, że W(x) = P(x)  \cdot  (x-a) + R(x).

Podstawmy za x wartość a. Wtedy:

W(a) = P(a)(a-a) + R(x) = R(x).

Ponieważ W(a) = 0, zatem R(x) = 0, co oznacza, że wielomian W(x) jest podzielny przez x - a bez reszty.

Dowód  \Leftarrow

Załóżmy, że wielomian W(x) jest podzielny przez x - a bez reszty - zatem istnieje wielomian P(x) taki, że W(x) = P(x)  \cdot  (x-a). Wówczas W(a) = P(a)(a-a) = 0, czyli a jest pierwiastkiem wielomianu W(x).

Co było do udowodnienia. 

Polecamy również:

  • Dodawanie wielomianów

    Jedną z podstawowych operacji, jakie możemy wykonywać na wielomianach, jest ich dodawanie. Dodawanie wielomianów polega na sumowaniu współczynników stojących przy odpowiednich potęgach.  Więcej »

  • Mnożenie wielomianów

    Kolejną operacją, którą można wykonywać na wielomianach, jest ich mnożenie. Więcej »

  • Dzielenie wielomianów

    Dzielenie wielomianów jest operacją, która znajduje zastosowanie w rozkładaniu wielomianu na czynniki, co jest jednym z etapów rozwiązywania równań wielomianowych. Więcej »

  • Równość wielomianów

    Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia i ich współczynniki przy tych samych potęgach są równe. Więcej »

Komentarze (0)
3 + 4 =