Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Tożsamości trygonometryczne – wzory, dowody, przykłady, zadania

Ostatnio komentowane
Aha
PandaJanek • 2017-05-22 15:51:44
no to co bylo mianem pozytywizmu w europie?
blanty pale • 2017-05-21 19:20:25
za mało o feric to główny bochater
gotti7 • 2017-05-21 18:42:43
nie rozumiem tego
Andrzej888 • 2017-05-21 17:34:21
Przydatne
Cynamon • 2017-05-21 14:58:46
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Tożsamości trygonometryczne – wzory, dowody, przykłady, zadania

Tożsamości trygonometryczne są pewnymi równościami łączącymi ze sobą funkcje trygonometryczne. Do podstawowych tożsamości trygonometrycznych należą jedynka trygonometryczna oraz wzory na tangens i cotangens wyrażone przy pomocy sinusa i cosinusa.

\sin^{2}{x} + \cos^{2}{x} = 1  (jedynka trygonometryczna)

\operatorname{tg} x =  \frac{\sin x}{\cos x}    \operatorname{ctg} x =  \frac{\cos x}{\sin x}

\operatorname{tg} x =  \frac{1}{\operatorname{ctg} x }     \operatorname{ctg} x =  \frac{1}{\operatorname{tg} x }

Powyższe tożsamości są prawdziwe dla tych wartości zmiennej x, dla których wyrażenia mają sens (tzn. mianownik jest różny od zera, a funkcja trygonometryczna jest określona).

 

Wyprowadzenie tych tożsamości jest bardzo proste i dokonuje się go w oparciu o definicje funkcji trygonometrycznych. Przypomnijmy, że gdy mamy w układzie współrzędnych określony kąt  \alpha  dowolnej miary, funkcje trygonometryczne wyrażają się następująco:

\sin  \alpha  =  \frac{y}{r} , \cos \alpha = \frac{x}{r}, \operatorname{tg} \alpha =  \frac{y}{x } , \operatorname{ctg} \alpha =  \frac{x}{y} , gdzie r =  \sqrt{x^2 + y^2} , przy czym xy są współrzędnymi w układzie współrzędnych. Przy takiej definicji funkcji otrzymujemy:

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha =  (\frac{y}{r})^2 + (\frac{x}{r})^2 = 
 \frac{y^2}{r^2} + \frac{x^2}{r^2} = \frac{x^2 + y^2}{r^2} = \frac{x^2 + y^2}{x^2 + y^2} =1, zatem jedynka trygonometryczna jest tożsamością.

Podobnie wyprowadzić możemy pozostałe tożsamości, np.:

 \frac{\sin  \alpha }{\cos  \alpha } =  \frac{ \frac{y}{r} }{ \frac{x}{r} } = \frac{y}{x} =
\operatorname{tg \alpha }

 

Przykład: 

Znając powyższe tożsamości możemy sprawdzić, czy tożsamością jest na przykład poniższa równość::

\sin^2{x} = (1 + \cos x)(1-\cos x)

\sin^2{x} = 1 + \cos x -\cos x - \cos^2 x

\sin^2x = 1 - \cos^2x 

\sin^2 + \cos^2 x = 1

Równość została sprowadzona do postaci jedynki trygonometrycznej, więc jest ona prawdziwa. 

 

Przykład: 

\operatorname{tg x} +1 =  \frac{1}{\cos^2 x}  

(\frac{\sin x}{\cos x})^2 +1 =  \frac{1}{\cos^2 x}

\frac {\sin^2 x} {\cos^2 x} + \frac{\cos^2x}{\cos^2x} = \frac{1}{\cos^2 x}

 \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\cos^2 x}  = \frac {1} {\cos^2x} 

\frac{1}{cos^2 x} = \frac{1}{cos^2 x} 

Lewa oraz prawa

Polecamy również:

Komentarze (0)
5 + 2 =