Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Symetria osiowa – geometria analityczna, definicja, wzór, zadania

Ostatnio komentowane
lol gitara siema
wojskowy • 2016-12-11 07:41:40
W tym artykule jest błąd merytoryczny. Otóż edykt mediolański, wydany przez cesarza K...
Nicodemus • 2016-12-10 22:33:06
głupie do rzeczy na drugi raz
felisityfornow • 2016-12-10 17:19:44
Spoko?
DOWNN • 2016-12-10 15:00:50
Jest ok
Uczeń2002 • 2016-12-10 13:39:29
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Symetria osiowa – geometria analityczna, definicja, wzór, zadania

Aby wyznaczyć obraz P'punktu P w semetrii osiowej, gdzie osią symetrii jest prosta l o równaniu l: y = ax+b należy wyznaczyć prostą prostopadłą do prostej l, przechodzącą przez punkt P. Szukana prosta będzie mieć równanie k: y = -\frac1 a x + c. Aby wyznaczyć c należy za zmienne xy podstawić współrzędne punktu P. Ostatnim etapem jest znalezienie współrzędnych punktu P', w oparciu o fakt, że punkt przecięcia się prostych lk jest środkiem odcinka PP'.

 

Przykład:

Znaleźć obraz punktu P = (3,2) w symetrii osiowej, gdy osią symetrii jest prosta l:y=2x-1.

Zacznijmy od wyznaczenia prostej prostopadłej.

k:y=-\frac12x+c

 

2 = -\frac 1 2 \cdot3+c

c = \frac72

k:y=-\frac12x+\frac72 

Szukany punkt P' leży na prostej k, natomiast na przecięciu prostych kl znajduje się środek odcinka PP'. Zatem S_{PP'} znajdziemy rozwiązując równanie

-\fra12x+\frac72=2x-1

Stąd, po przekształceniu mamy x = \frac95.

Podstawiamy teraz otrzymany wynik do jednego z równań prostych, otrzymując y = -\frac12\cdot\frac95+\frac72=\frac{13}5.

Zatem punkt S_{PP'} ma współrzędne (\frac95,\frac{13}5).

Ale zauważmy też, że jeśli oznaczymy współrzędne punktu P'przez (x_{P'},y_{P'}), to punkt S_{PP'} będzie mieć współrzędne (\frac{3+x_{P'}}2,\frac{2+y_{P'}}2).

Łącząc powyższe fakty, mamy następującą parę równości:

\frac{3+x_{P'}}2 = \frac 95 i \frac{2+y_{P'}}2 = \frac{13}5,

skąd (przekształcając) wyznaczyć możemy x_{P'} = \frac{18}5-3=\frac35y_{P'} = \frac{26}5-2 = \frac{16}5.

Ostatecznie zatem, szukany punkt P' ma współrzędne (\frac35,\frac{16}5)

 

 

Zadanie:

Znaleźć obraz punktu (1,3) w symetrii względem prostej o równaniu ogólnym x + 2 y -2 = 0.

 

Odpowiedzi:

(-1,-1)

Polecamy również:

Komentarze (0)
4 + 2 =