Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Suma ciągu geometrycznego – wzór, dowód, przykłady, zadania

Ostatnio komentowane
Popieram Profesora
Szymon • 2017-02-21 10:32:57
Analiza i interpretacja wierszy Miłosza to męka...
maturzysta • 2017-02-19 17:29:33
Beznadzieja
Jerzy • 2017-02-19 14:52:08
XDDDDDDD
XD • 2017-02-17 09:04:28
Myślę że notatka jest bardzo przydatna. Pozdrawiam Angelika
Angelika • 2017-02-17 08:55:40
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Suma ciągu geometrycznego – wzór, dowód, przykłady, zadania

Sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (o ilorazie różnym od 1) wyznaczyć możemy ze wzoru S_n = a_1 \cdot \frac {1-q^n}{1-q}, gdzie a_1 jest pierwszym wyrazem tego ciągu, natomiast q jego ilorazem.

 

Dowód:

Chcemy policzyć sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, rozpiszmy więc ją i przekształćmy, korzystając z wzoru ogólnego na n-ty wyraz ciągu geometrycznego:

S_n = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n = 
 a_1 + a_1 q + a_1q^2 + ... + a_1q^{n-1}

Pomnożmy teraz obie strony tej równości przez iloraz tego ciągu.

 

S_nq =  a_1q + a_1 q^2 + a_1q^3 + ... + a_1q^n

Teraz odejmijmy stronami drugą równość od pierwszej:

S_n - S_nq = a_1 - a_1q^n

S_n(1 - q) = a_1(1-q^n)

Ostatecznie więc

S_n = a_1 \cdot \frac {1-q^n}{1-q}, co było do pokazania.

 

Przykład:

Policzyć sumę pierwszych pięciu wyrazów ciągu geometrycznego danego wzorem a_n = 3\cdot2^{n-1}.

Zauważmy wpierw, że a_1 = 3q = 2. Podstawiamy do wzoru otrzymując

S_5 = 3 \cdot \frac {1-2^5}{1-2} = 3 \cdot \frac {1-32}{-1} = 3\cdot 31 = 93.

 

Zadanie:

Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 5, a jego iloraz wynosi 2. Ile pierwszych wyrazów tego ciągu należy zsumować aby otrzymać 635?

 

 

Rozwiązanie:

Należy dodać 7 początkowych wyrazów tego ciągu.

Polecamy również:

Komentarze (0)
5 + 3 =