Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Schemat Bernoulliego – dowód, przykłady, zadania

Ostatnio komentowane
kappa xdddddddd
kk • 2016-12-07 19:00:41
Do d**y
Hn 88H • 2016-12-06 20:48:20
Polecam
Ola6a • 2016-12-05 19:19:19
super
sr • 2016-12-05 18:58:48
Dzięki za pomoc!
Uczeń • 2016-12-05 17:25:49
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Schemat Bernoulliego – dowód, przykłady, zadania

Pewne doświadczenie może zakończyć się jednym z dwóch wyników. Jakie będzie prawdopodobieństwo otrzymania danego wyniku określoną ilość razy jeśli będziemy powtarzać to doświadczenie wielokrotnie?

Odpowiedzi na to pytanie dostarcza model probabilistyczny zwany schematem Bernoulliego (od nazwiska jego autora Jakoba Bernoulliego).

Każde powtórzenie doświadczenia nazywamy próbą. Jeśli jeden z wyników nazwiemy sukcesem (i jego prawdopodobieństwo oznaczymy p), a drugi porażką (prawdopodobieństwo q = 1-p) to prawdopodobieństwo uzyskania k sukcesów w n próbach wynosi

P(S_n = k) = {n \choose k}p^kq^{n-k}, gdzie k = 0,1, ..., n, a S_n oznacza liczbę sukcesów przy n próbach.

 

Przykład:

Rzucamy pięć razy monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że orzeł wypadnie dokładnie trzy razy?

Doświadczeniem jest pojedynczy rzut monetą. Powtarzać będziemy go pięć razy, mamy zatem 5 prób. Sukcesem jest wyrzucenie orła, zatem prawdopodobieństwo sukcesu p = \frac12, prawdopodobieństwo porażki q = \frac 12. Podstawmy:

(P_5 = 3) = {5 \choose 3}(\frac 12 )^3(\frac 12 )^2 = 10 \cdot (\frac 12 )^5 = \frac {10}{32}.

 

Przykład:

Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia piątki dwa razy w pięciu rzutach kostką do gry?(P_5 = 2) = {5 \choose 2}(\frac 16 )^2(\frac 56 )^3 =
 10 \cdot \frac 1{36} \cdot  \frac {125}{216} = \frac {1250}{7776} .

 

Zadania:

Przeważnie pięć dni w ciągu tygodnia jest deszczowo. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że dwa spośród trzech dni będą pogodne?

 

Odpowiedzi:

\frac{60}{343}.

Polecamy również:

Komentarze (0)
4 + 3 =