Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Równanie okręgu – wzór, zadania

Ostatnio komentowane
kappa xdddddddd
kk • 2016-12-07 19:00:41
Do d**y
Hn 88H • 2016-12-06 20:48:20
Polecam
Ola6a • 2016-12-05 19:19:19
super
sr • 2016-12-05 18:58:48
Dzięki za pomoc!
Uczeń • 2016-12-05 17:25:49
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Równanie okręgu – wzór, zadania

Okrąg jest zbiorem punktów oddalonych od danego punktu (zwanego środkiem koła) o zadaną odległość.

Równanie opisujące okrąg o środku w punkcie S(x_s,y_s) i promieniu r ma postać (x-x_s)^2 + (y-y_s)^2 = r^2

 

 

Przykład:

Napisać równanie okręgu o środku w punkcie (3,2) i promieniu 4.

(x-3)^2+(y-2)^2=4

 

 

Przykład:

Wyznaczyć współrzędne środka oraz promień okręgu o równaniu x^2-2x+y^2-3=0.

Zauważmy na początku, że x^2-2x+1-1=(x-1)^2-1.

Taka operacja „zwijania” wyrażeń do postaci znanej z wzorów skróconego mnożenia na kwadrat sumy i różnicy zwana jest dopełnianiem wyrażenia do wzoru skróconego mnożenia.

Po tym zabiegu równanie ma postać

(x-1)^2+y^2=4=2^2

Stąd odczytujemy, że środek okręgu ma współrzędne (1,0), zaś jego promień długość 2.

 

Rozważmy wzajemne położenie dwóch okręgów na płaszczyźnie:

Okręgi mogą nie mieć punktów wspólnych (sytuacje pierwsza i piąta), mieć jeden punkt wspólny (przypadki drugi i czwarty) lub przecinać się i mieć dwa punkty wspólne (sytuacja trzecia).

W przypadku występowania sytuacji drugiej mówimy, że okręgi są styczne zewnętrznie, zaś w przypadku sytuacji czwartej - styczne wewnętrznie.

 

Przykład:

Zbadać wzajemne położenie okręgów x^2 + y^2 - 8y+8 = 0x^2 + y^2 - 8x+8 = 0.

Po przekształceniu okręgi mają równania x^2 +(y-4)^2=8=2 \sqrt{2} (x-4)^2 +y^2=8=2 \sqrt{2} .

Zauważmy, że odległość między środkami obu okręgów jest równa sumie ich promieni, tzn. d(S_1,S_2) =  \sqrt{4^2+4^2} = 4\sqrt{2} .

Zatem okręgi te są styczne zewnętrznie.

 

Zadanie:

1. Wyznacz współrzędne środka oraz promień okręgu o równaniu x^2+y^2-3x+4y=0.

2. Zbadać wzajemne położenie okręgów x^2+y^2-4x+8y+11 = 0x^2+y^2+6x-4y-12=0.

 

Odpowiedzi:

1.S=(\frac32,-2), r = \frac52

2. Okręgi mają dwa punkty wspólne. 

Polecamy również:

  • Równanie koła – wzór, zadania

    Koło jest zbiorem punktów oddalonych od danego punktu (zwanego środkiem koła) o odległość nie większą niż zadana. W geometrii analitycznej koło opisane jest przez następującą nierówność...  Więcej »

Komentarze (0)
2 + 4 =