Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Równania wykładnicze i logarytmiczne

Ostatnio komentowane
Do d**y
Hn 88H • 2016-12-06 20:48:20
Polecam
Ola6a • 2016-12-05 19:19:19
super
sr • 2016-12-05 18:58:48
Dzięki za pomoc!
Uczeń • 2016-12-05 17:25:49
Moja nauczcielka zagroziła mi że pozwie mnie do sądu jak na wypracowania będe kopiowal...
drtjfghjfcghfcgh • 2016-12-05 15:17:27
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Równania wykładnicze i logarytmiczne

Równaniem wykładniczym nazywamy każde równanie, w którym zmienna znajduje się w wykładniku potęgi. Rozwiązując takie równania korzystamy z praw działania na potęgach oraz własności logarytmów.

Równaniem logarytmicznym nazywamy każde równanie, w którym zmienna jest logarytmowana. Rozwiązując te równania korzystamy z praw działania na logarytmach.

 

Przykład:

2^{x+3} + 2^{x} = 54

2^{x} \cdot 2^{3} + 2^{x} = 54

8 \cdot 2^{x} + 2^{x} = 54

9 \cdot 2^{x}=54

2^{x} =  \frac{54}{9}  = 6

log_{2} 2^{x} = log_{2} 6

x = log_{2}6

 

Czasami zmienna znajduje się w wykładniku dwóch różnych potęg, wówczas dążymy do utworzenia ilorazu tychże potęg.

 

Przykład:

6^{x} = 4^{x + 3}

6^{x} = 4^{3}  \cdot 4^{x}

 \frac{6^{x}}{4^{x}} = 4^{3}

( \frac{6}{4} )^{x} = 4^{3}

x = log_{ \frac{6}{4} } 4^{3} = 3 log_{ \frac{6}{4} } 4

 

W przypadku równań logarytmicznych pamiętać musimy o tym, że liczba logarytmowana musi być dodatnia - tj. całe wyrażenie ze zmienną, które znajduje się pod znakiem logarytmu, musi spełniać warunek dodatniości.

 

Przykład:

log_{2}(x+1)+log_{2}(x-1)=3 - oba wyrażenia logarytmowane (tj. x+1 oraz x-1) muszą być dodatnie, zatem x \ge 1.

log_{2}((x+1)(x-1))=3

log_{2}(x^{2}-1)=3 = log_{2}8

x^{2} -1 = 8

x^{2} = 9, zatem x = 3 lub x = -3, ale druga odpowiedź jest sprzeczna z założeniem, zatem x = 3.

 

W niektórych równaniach logarytmicznych zmienna pojawia się także jako podstawa logarytmu. Wówczas korzystamy z definicji logarytmu.

 

Przykład:

log_{x}(4x-4) = 2  \Leftrightarrow  x^{2} = 4x-4

Równanie zostało sprowadzone do równania kwadratowego.

x^{2} - 4x + 4 = 0

Po przekształceniu ma ono postać (x-2)^{2} = 0, zatem jego rozwiązaniem jest liczba x = 2.

 

Kiedy logarytm znajduje się w wykładniku potęgi staramy się zlogarytmować obie strony, by - korzystając ze wzoru na logarytm potęgi - przekształcić równanie.

 

Przykład:

x^{logx} = 10

logx^{logx} = log10

logx  \cdot  log x = 1

Zatem log x = 1 lub log x = -1, czyli x = 10 lub x =  \frac{1}{10} .

 

Zadania:

1. Rozwiązać równania wykładnicze:

a) 64^{x} - 4  \cdot  8^{x} + 4 = 0,

b) 8^{x} - 4^{x +1} + 2^{x+2} = 0,

c) 9^{ \sqrt{x} } - 8  \cdot 3^{ \sqrt{x} } - 9 = 0

2. Rozwiązać równania logarytmiczne:

a) log_{3}(x^{2} -8) = 2,

b) log_{ \frac{1}{2} }(x^{2} -x) = -1,

c) log_{2}(9x - x^{2}) = 3.

 

Odpowiedzi:

1.

a) x =  \frac{1}{3} ,

b) x = 1,

c) x = 4

2.

a) x_{1} =  -\sqrt{17} x_{2} =  \sqrt{17} ,

b) x_{1} =  -1, x_{2} =  2,

c) x_{1} =  1, x_{2} =  8.

Polecamy również:

Komentarze (0)
5 + 3 =