Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Równania kwadratowe

Ostatnio komentowane
Przydało się ^^
Psotkaa • 2016-12-08 13:59:22
kappa xdddddddd
kk • 2016-12-07 19:00:41
Do d**y
Hn 88H • 2016-12-06 20:48:20
Polecam
Ola6a • 2016-12-05 19:19:19
super
sr • 2016-12-05 18:58:48
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Równania kwadratowe

Równaniem kwadratowym nazywamy równanie postaci ax ^{2} + bx + c = 0, gdzie x jest zmienną, a, b i c parametrami, a do tego  a musi być różne od zera.

 

Przykład:

x ^{2} -4x + 5 = 0, x^{2} + 6x - 3 = 0, x^{2} - x + 6 = 0, itd.

 

Jeśli chodzi o rozwiązania, to są trzy możliwe przypadki. Równanie kwadratowe może mieć dwa różne rozwiązania, jedno albo żadnego. Aby określić, z którym przypadkiem mamy do czynienia należy posłużyć się tzw. wyróżnikiem równania kwadratowego, potocznie nazywanym deltą - od greckiej literki, używanej do jego oznaczenia.

Deltę liczymy w następujący sposób:  \Delta  = b^{2} - 4ac.

Jeśli  \Delta  jest ujemna, równanie kwadratowe nie ma rozwiązań. Jeśli jest równa zero - ma jedno rozwiązanie, natomiast jeśli jest dodatnia - istnieją dokładnie dwa rozwiązania równania.

 

Przykład:

x ^{2} -4x + 5 = 0,

 \Delta  = (-4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 - delta jest ujemna, zatem równanie nie ma rozwiązań w liczbach rzeczywistych.

x^{2} + 6x - 3 = 0,

 \Delta  = 6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 36 + 12 = 48 - delta dodania, więc równanie ma dwa rozwiązania.

 

Kiedy policzymy deltę i określimy ilość rozwiązań danego równania, pozostaje już tylko znaleźć same rozwiązania - o ile oczywiście istnieją. Wzory na ich znajdowanie są następujące:

x_{1} =  \frac{-b- \sqrt{ \Delta } }{2a} x_{2} =  \frac{-b+ \sqrt{ \Delta } }{2a} .

 

Przykład:

x^{2} + 6x - 3 = 0,

 \Delta  = 48 \sqrt{ \Delta } =  \sqrt{48} = 4 \sqrt{3}

x_{1} =  \frac{-6- 4\sqrt{3 } }{2} = -3-2 \sqrt{3}

x_{2} =  \frac{-6+ 4\sqrt{3 } }{2} = -3+2 \sqrt{3}

 

W przypadku delty zerowej korzystamy z tych samych wzorów co dla dodatniej delty - w tym przypadku oba wzory dają po prostu ten sam wynik.

 

Zadania:

Rozwiązać równania (tj. sprawdzić czy równanie ma rozwiązania, a jeśli tak - znaleźć je):

a) 24x^{2} + x = 10,

b) -12x^2 + 43x - 35 = 0,

c) x^{2} + x - 6 = 0,

d) x^{2} + 4x + 1 + 2 \sqrt{2} =0,

e) x^{2} - 4x = -4

 

Odpowiedzi:

a) x_{1} =  \frac{-2}{3} , x_{2} =  \frac{5}{8} ,

b) x_{1} =  \frac{5}{4} , x_{2} =  \frac{7}{3} ,

c) x_{1} = -3, x_{2} = 2,

d) x_{1} = - \sqrt{2} -1, x_{1} = - 3 + \sqrt{2},

e) x_{0} = 2.

Polecamy również:

Komentarze (0)
1 + 4 =