Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Równania i nierówności trygonometryczne – przykłady, zadania

Ostatnio komentowane
I tak nie zdacie cfele XD
Ruhaczmateg • 2016-12-01 17:33:21
wtf
nicnieumiem • 2016-12-01 12:36:50
trudne. z kartkówki mam 2
lolek 004 • 2016-12-01 12:35:11
Tekst jest nie do zrozumienia, merytorycznie niepoprawny. A szkoda.
Apster • 2016-12-01 09:23:32
lololololo
hej • 2016-12-01 08:00:08
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Równania i nierówności trygonometryczne – przykłady, zadania

Równania trygonometryczne

 

Przykład:

 

\sin2x = 1

Do rozwiązania równania zastosujemy podstawienie t = 2x. Wówczas rozwiązujemy równanie \sin t = 1. W tym celu posługujemy się wykresem funkcji sinus.

Funkcja sinus przyjmuje wartość 1 dla argumentu \frac \pi 2, a jako, że jest funkcją okresową, to także dla wszystkich jego okresowych krotności. Stąd zapisujemy, że t = \frac \pi 2 + 2 k \pi, gdzie k \in \mathbb Z. Powracając do pierwotnej zmiennej mamy 2x = \frac \pi 2 + 2 k \pi, stąd zaś ostatecznie x = \frac \pi 4 +  k \pi.

 

Przykład: 

\sin(2x - \frac\pi6)=0

Znów posłużymy się podstawieniem: t=2x - \frac\pi6

Równanie \sin t = 0 ma rozwiązania postaci t= k \pi, gdzie k \in \mathbb Z.

Zatem (powracając do zmiennej x) mamy 

2x - \frac\pi6 = 2 k \pi

2x = \frac\pi6 + 2 k \pi

x = \frac\pi{12} +  k \pi

 

Przykład:

\operatorname{tg4x} = \sqrt 3

Zauważmy na początek, że 4x  \neq \frac \pi 2 + k \pi (dla k \in \mathbb Z), ponieważ w tych punktach funkcja tangens jest nieokreślona. Zatem x \neq \frac\pi8 + \frac{ k \pi}4.

Podstawiamy t = 4x i rozwiązujemy równanie \operatorname{tg}t = \sqrt3. Z wykresu odczytujemy (po uwzględnieniu okresowości funkcji tangens), że t = \frac \pi 3 + k \pi.

Zatem x = \frac \pi {12} + \frac {k\pi} 4.

 

Przykład:

2\sin^2 x + \sin x -1 = 0

Posłużymy się podstawieniem t = \sin x. Wtedy równanie trygonometryczne zostaje sprowadzone do równania kwadratowego 2 t^2 + t - 1 = 0, którego rozwiązaniem jest para liczb t = \frac 1 2  \vee  t = -1.

 

Stąd \sin x = \frac 1 2 \vee \sin x = -1, zatem x = \frac \pi 6 + 2k \pi \vee x = \frac 5 6 \pi + 2k \pi \vee x = \frac 3 2 \pi + 2k \pi, gdzie k \in \mathbb Z.

 

Przykład:

2 \cos^2 x + \cos x - 3 = 0

Podstawiamy t = \cos x i rozwiązujemy równanie 2t^2 + t - 3 = 0 otrzymując t = - \frac 3 2 \vee t = 1. Zatem \cos x = - \frac 3 2 \vee \cos x = 1

Po uwzględnieniu obu równości widzimy, że

x \in \emptyset \vee x = 2k \pi, dla k \in \mathbb Z.

 

Nierówności trygonometryczne

 

Przykład:

\cos x  \ge \frac 1 2

Kreślimy wykres funkcji cosinus

Widzimy, że nierówność jest spełniona dla argumentów z zaznaczonego przedziału, zatem - po uwzględnieniu okresowości funkcji cosinus - możemy zapisać ostatecznie 

 

x \in [- \frac \pi 3 + 2k \pi; \frac \pi 3 + 2k \pi], gdzie k \in \mathbb Z.

 

Przykład:

\cos^2 x < \frac 1 4

Nierówność po rozpisaniu ma postać \cos x < \frac 1 2  \wedge  \cos x > - \frac 1 2.

Zatem po uwzględnieniu okresowości funkcji cosinus widać, że

x \in [- \frac \pi 3 + 2k \pi; \frac {2\pi} 3 + 2k \pi], gdzie k \in \mathbb Z.

Polecamy również:

Komentarze (1)
1 + 4 =
Komentarze
Gabi • 2015-10-19 11:02:24
Równanie sin t = 0 ma rozwiązania postaci t= k pi, gdzie k należy do Z, a nie jak autor pisze t=2kpi