Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Problem urodzin

Ostatnio komentowane
Polecam
Ola6a • 2016-12-05 19:19:19
super
sr • 2016-12-05 18:58:48
Dzięki za pomoc!
Uczeń • 2016-12-05 17:25:49
Moja nauczcielka zagroziła mi że pozwie mnie do sądu jak na wypracowania będe kopiowal...
drtjfghjfcghfcgh • 2016-12-05 15:17:27
@Nesti Głupi to ty jesteś.
xxx • 2016-12-05 17:17:51
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Problem urodzin

Wyobraźmy sobie klasę liczącą 23 uczniów. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że dwie osoby z tej klasy mają urodziny tego samego dnia?

Rok liczy 365 dni (pomijamy lata przestępne), zatem wydaje się, że szansa na to, by dwie osoby urodziły się tego samego dnia roku jest niewielka, jednak odpowiedź na to pytanie stoi w sprzeczności z intuicją - prawdopodobieństwo to jest bowiem większe niż \frac12!

Jak to możliwe? Aby to policzyć skorzystajmy z faktu, że prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do A jest równe 1 - P(A).

Zastanówmy się jaka jest szansa na to, by żadne dwie osoby w klasie nie miały urodzin tego samego dnia?

Dzień urodzin dla pierwszej osoby możemy wybrać na 365 sposobów, dla drugiej na 364 sposoby, itd. Dla ostatniej - 23-ciej osoby pozostają już tylko 343 możliwe dni do wyboru. W sumie zatem mamy 365 \cdot 364 \cdot ... \cdot 343 możliwości wyboru 23 dni tak, by żadne dwa się nie powtarzały. To bardzo duża liczba i nie ma nawet sensu jej wymnarzać.

Ile jest natomiast wszystkich możliwości wybrania 23 dni w roku? Oczywiście 365^{23}, bo każdy dzień możemy wybrać na 365 sposobów.

Ostatecznie zatem, jeśli przez A oznaczymy zdarzenie polegające na tym, że żadne dwie osoby z grupy 23-ch nie mają urodzin tego samego dnia, natomiast przez A' zdarzenie do niego przeciwne, a więc polegające na tym, że w tej klasie istnieją dwie osoby o tym samym dniu urodzin, to będziemy mieć P(A') = \frac { 365 \cdot 364 \cdot ... \cdot 343}{365 \cdot 365 \cdot ... \cdot 365}  \approx 
0,493 oraz P(A) = 1 - P(A')  \approx 0,507 > 0,5.

Zatem w istocie prawdopodobieństwo tego, że w klasie są dwie osoby urodzone tego samego dnia jest większe niż \frac12.

Obliczenia są trudne, ze względu na to, że mamy do czynienia z dużymi liczbami, jednak samo rozumowanie jest elementarne.

Moc problemu urodzin polega na tym, że ukazuje (on na bardzo prostym przykładzie) jak zawodne bywają nasze zmysły w szacowaniu prawdopodobieństwa.

Polecamy również:

Komentarze (1)
2 + 1 =
Komentarze
pulsar • 2016-11-25 14:49:59
a jak w klasie będzie 15 osób?