Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Pochodna funkcji złożonej – przykłady, zadania

Ostatnio komentowane
Polecam
Ola6a • 2016-12-05 19:19:19
super
sr • 2016-12-05 18:58:48
Dzięki za pomoc!
Uczeń • 2016-12-05 17:25:49
Moja nauczcielka zagroziła mi że pozwie mnie do sądu jak na wypracowania będe kopiowal...
drtjfghjfcghfcgh • 2016-12-05 15:17:27
@Nesti Głupi to ty jesteś.
xxx • 2016-12-05 17:17:51
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Pochodna funkcji złożonej – przykłady, zadania

Oprócz podstawowych wzorów na pochodne i elementarnych zasad arytmetyki pochodnych istotnym narzędziem rachunku różniczkowego jest wzór na pochodną złożoną.

Funkcję nazywamy złożoną jeśli jej argumentem jest inna funkcja. Wówczas funkcję będącą argumentem nazywamy funkcją wewnętrzną, a tą, której jest ona argumentem - zewnętrzną.

Jeśli funkcja f ma pochodną w punkcie x, a funkcja g pochodną w punkcie f(x) to pochodną funkcji g(f(x)) liczymy jako g'(f(x))\cdot f'(x), tzn.

(g(f(x)))'=g'(f(x))\cdot f'(x).

 

Przykład:

Funkcja \sin(\cos x) jest złożeniem dwóch funkcji, zewnętrzną jest funkcja sinus, wewnętrzną zaś cosinus.

f(g(x)) = \sin(\cos x)

(g(f(x)))' = g'(f(x)) \cdot f'(x) = \sin'(\cos x) \cdot \cos'x =
\cos(\cos x) \cdot (- \sin x) = - \sin x \cos (\cos x)

 

Funkcja (\operator tg } x)^2 jest złożeniem funkcji \operator tg } t (wewnętrzna) i t^2 (zewnętrzna).

g(f(x)) = (\operator tg } x)^2

(g(f(x)))' = 2\cdot (\operator tg } x)^1 \cdot ( (\operator tg } x)' =
\frac {2\operator{ tg } x}{\cos^2 x}

 

Zadania:

Policzyć pochodne następujących funkcji:

a) f(x) = (3x+2)^5,

b) f(x) =  \sqrt{2x-4} ,

c) f(x) = \sin 4x.

 

Odpowiedzi:

a) f'(x) = 15(3x+2)^4,

b) f'(x) = \frac1{ \sqrt{2x-4} ,

c) f'(x) = 4\cos4x.

Polecamy również:

Komentarze (0)
4 + 3 =