Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Ograniczoność ciągu – definicja, przykłady, zadania

Ostatnio komentowane
git
zboczony maciek • 2018-06-17 19:28:46
erl98ghurt;g
g"SMRp;b' • 2018-06-17 13:48:24
istnieją też możliwości zweryfikowania rozkładu alkoholu we krwi w sposób matematycz...
aśka • 2018-06-17 11:01:08
ok
andrzej duda • 2018-06-14 10:31:18
Unia w Krewie 1386? Od kiedy? Unia w Krewie to rok 1385.
jjj • 2018-06-14 05:18:25
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Ograniczoność ciągu jest drugą (obok monotoniczności) podstawową własnością ciągu.

 

Definicja:

Ciąg (a_n) nazywamy ograniczonym z góry, jeśli istnieje taka liczba M, że każdy wyraz ciągu jest od niej mniejszy (formalnie: \exist M\forall n \in \mathbb{N} (a_n \le M).

Ciąg (a_n) nazywamy ograniczonym z dółu, jeśli istnieje taka liczba m, że każdy wyraz ciągu jest od niej większy (formalnie: \exist m\forall n \in \mathbb{N} (a_n \ge m).

Ciąg nazywamy ograniczonym, jeśli jest ograniczony z góry i z dołu.

Ciąg nazywamy nieograniczonym, jeśli nie jest ograniczony.

 

Przykład:

Każdy ciąg stały jest ograniczony (bo jest ograniczony zarówno z dołu - przez liczby mniejsze lub równe od jego wyrazów, jak i z góry - przez liczby większe lub równe jego wyrazom).

(1,-1,1,-1,...) - ciąg ograniczony z góry przez 1, z dołu przez -1.

(1,-1,2,-2,3,-3,...) - ciąg nieograniczony.

 

Czasem, by określić ograniczoność ciągu, można posłużyć się badaniem jego monotoniczności.

 

Przykład:

b_n = \frac{2n}{3n^2}

b_{n+1} - b_n = \frac{2(n+1)}{3(n+1)^2} - \frac{2n}{3n^2}
= \frac{2n+2}{3n^2+6n+3} - \frac{2}{3n}
= \frac{(2n+2)3n-2(3n^2+6n+3)}{(3n^2+6n+3)3n}
= \frac{6n^2+6n-6n^2-12n-6}{(3n^2+6n+3)3n}
= \frac{-6n-6}{(3n^2+6n+3)3n}
= -\frac{6n+6}{(3n^2+6n+3)3n}<0 

Ponieważ ciąg (b_n) jest malejący, jego górnym ograniczeniem będzie każda liczba większa od jego pierwszego wyrazu.

Policzmy

b_1 = \frac 2 3 - jest to ograniczenie górne ciągu.

Wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie, więc ograniczeniem dolnym będzie każda liczba ujemna oraz zero.

 

Zadania:

Podać ograniczenie górne i dolne ciągu, o ile jest on ograniczony (z góry lub z dołu).

a) (1,2,3,4,...),

b) (-2,-4,-6,-8,-2,-4,...),

c) a_n = \frac{2}{n+2}.

 

Odpowiedzi:

a) ciąg ograniczony z dołu przez 1, z góry ciąg nie jest ograniczony,

b) ciąg ograniczony z góry przez -2, z dołu przez -8,

c) ciąg ograniczony z góry przez \frac 2 3, z dołu np. przez -1.

Polecamy również:

Komentarze (3)
4 + 2 =
Komentarze
asd • 2017-12-02 18:05:21
Niektórzy nie rozumieją jak widać czym jest ograniczoność ciągu. Ciąg może być 1,2,3,4,5,.. nie jest ograniczony tylko przez 1, ale też przez każdą mniejszą od 1
takijeden • 2016-12-05 20:04:47
Tak, według mnie najdokładniejszym ograniczeniem (kresem dolnym) jest 0.
Konradpros • 2016-10-06 08:10:23
"ciąg ograniczony z góry przez 2/3, z dołu np. przez -1." Co to znaczy, że jest ograniczony "np.-1". Powinna byc konkretna odpowiedz!