Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.

Obliczanie granicy ciągu – przykłady, zadania

Ostatnio komentowane
I love reading these articles because they're short but inimaortfve.
Momojay • 2014-12-21 21:36:41
RokuWystarczy poszerzyć logo o 5cm A co do samej strnoy jeszcze, to wygląda fajnie, ale...
Ayu • 2014-12-21 21:21:55
Didn't know the forum rules allowed such bralilint posts.
Junpei • 2014-12-21 21:12:02
Francisco tens toda a raze3o, por lapso eu coloquei escloa municipal, ele andava no que aq...
Gomathi • 2014-12-21 20:59:08
""Zrf3b coś dla ludzkości, jeżeli masz takie poglądy, i pailnj sobie w łeb. Trzeba by...
Richard • 2014-12-21 20:36:53
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Wyprowadzanie granic ciągów na podstawie definicji jest bardzo żmudne i niewygodne. W praktyce korzysta się z kilku podstawowych zasad, które znacznie ułatwiają obliczenia.

Podamy twierdzenia opisujące elementarne fakty dotyczące arytmetyki granic ciągów.

 

Twierdzenie: Każdy ciąg ma co najwyżej jedną granicę.

Innymi słowy ciąg może nie mieć granicy lub mieć granicę, natomiast jeśli ją ma, to jest ona jedyną jego granicą.

 

Twierdzenie: Granicą ciągu stałego jest wyraz ogólny tego ciągu.

 

Przykład:

Jeśli a_n = 7 to  \lim_{n \to \infty} a_n =  \lim_{n \to \infty} 7 = 7.

 

Twierdzenie: Jeśli  \lim_{n \to \infty } a_n = g oraz r \in \math{R} to r \lim_{n \to \infty } a_n =  \lim_{n \to \infty } ra_n = rg.

Można zatem wyciągnąć przed granicę stały czynnik.

 

Twierdzenie: Jeśli k >0 to  \lim_{n \to \infty} \frac 1 {n^k} = 0.

 

Przykład:

 \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2}=0

 \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3}=0

 

Twierdzenie: Jeśli  \in (-1;1) to  \lim_{n \to \infty} q^n=0.

 

Przykład:

 \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{2})^n=0

 \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{5})^n=0

 

Mówiąc dość oględnie podnoszenie ułamka do coraz większych potęg, bądź do tej samej potęgi lecz zwiększając jego licznik, zbliżać będzie ten ułamek do zera. 

 

Twierdzenie o arytmetyce granic ciągów:

Niech \lim_{n \to \infty } a_n = a oraz \lim_{n \to \infty } b_n = b. Zachodzą następujące równości:

\lim_{n \to \infty } (a_n \pm b_n)= \lim_{n \to \infty } a_n \pm \lim_{n \to \infty }b_n=a \pm b

\lim_{n \to \infty } (a_n \cdot b_n)= \lim_{n \to \infty } a_n \cdot \lim_{n \to \infty }b_n=a \cdot b

\lim_{n \to \infty } \frac{a_n}{b_n}= \frac{\lim_{n \to \infty } a_n }{\cdot \lim_{n \to \infty }b_n}=\frac a b, o ile \lim_{n \to \infty }b_n  \neq 0b_n  \neq 0.

 

Druga równość jest uogólnieniem twierdzenia o wyciąganiu stałego czynnika przed granicę. W istocie twierdzenie o wyciąganiu stałego czynnika przed nawias jest wersją drugiej równości powyższego twierdzenia dla ciągu stałego b_n.

 

Twierdzenie: Jeśli a>0 to \lim_ {n \to \infty}  \sqrt[n]{ a}=1.

 

Przykład:

\lim_ {n \to \infty}  \sqrt[n]{2}=1

 

Przykład:

 \lim_{n \to \infty} \frac{6n^2-2n+1}{n^2} =
  \lim_{n \to \infty} (6-\frac2n+\frac1{n^2})=
  \lim_{n \to \infty} 6-  \lim_{n \to \infty}\frac2n+  \lim_{n \to \infty}\frac1{n^2}=6-0+0=6


 \lim_{n \to \infty} \frac{2n-1}{3n+5} = 
 \lim_{n \to \infty} \frac{2-\frac1n}{3+\frac5n} = 
\frac{ \lim_{n \to \infty} (2-\frac1n)}{\lim_{n \to \infty}(3+\frac5n)} = 
\frac{ 2-\lim_{n \to \infty} \frac1n}{3+\lim_{n \to \infty}\frac5n} = \frac23

 

Zadanie:

Obliczyć następujące granice: 

a) \lim_{n \to \infty}\frac{7n^2-12n+5}{8n^2-n+2,

b) \lim_{n \to \infty}\frac{5n^3-2n+1}{\frac 12n^3-2n^2+2n},

c) \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{5}}{n^2}

 

Odpowiedzi:

a) \frac78,

b) 10,

c) 0.

Polecamy również:

Przepisz kod:
wczytaj nowy
Soumya • 2014-12-21 08:00:35
I agree with your premise that sleep tainnirg is harder on us than it is on our kids!I trained mine at about 4 months for naps out of desperation cos nothing was working anymore. Not rocking. Not nursing. Not cuddling. Not singing. Not car rides. Not the stroller. Not the carrier. He'd just eventually pass out from sheer exhaustion.The first week was the hardest but there was some struggle for about a month (mostly on my end). This is what I learned:1) It became my impression that sleep and self-soothing are learned behaviours. Gradually, my kid started to associated being tired and being placed in his crib, after our little pre-nap ritual, with falling asleep. Now if he's super tired he cries until I lay him down then he relaxes and sinks himself into the mattress. But it took us a few months to get to this place.2) Because I did it early and my son didn't have a sleep debt, there wasn't that much crying. If I got him in his crib in line with his circadian rhythms when he was tired (the wave of sleepiness) he would fall asleep in a few minutes. There seems to be an association in some people's minds with sleep tainnirg and long long long crying spells. I had some long crying spells but they were my own fault for trying to put him down undertired or overtired. When I got it right, he'd be asleep in 5-10 minutes. It was actually a bit of work and a bit of sacrifice to do that lots of staying at home and watching for sleepy signs and a really steep learning curve. Did I mention I stayed at home a lot?I can only imagine that sleep tainnirg a toddler will be more difficult but maybe not more difficult than anything else you will have to teach her. You are already making progress she fell asleep by herself, in her own bed. That's great! Some days you will feel like allowing more crying, other days not that's okay. You're working towards a goal and teaching a skill and the journey needs to be sort of pleasant. Don't turn yourself inside out and don't beat yourself up about it. You'll get there. Remember, you're learning too you are learning to sleep train while she is learning to sleep. You're allowed to have a few false starts, some modification of technique and periodic re-evaluations.