Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.

Obliczanie granicy ciągu – przykłady, zadania

Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Wyprowadzanie granic ciągów na podstawie definicji jest bardzo żmudne i niewygodne. W praktyce korzysta się z kilku podstawowych zasad, które znacznie ułatwiają obliczenia.

Podamy twierdzenia opisujące elementarne fakty dotyczące arytmetyki granic ciągów.

 

Twierdzenie: Każdy ciąg ma co najwyżej jedną granicę.

Innymi słowy ciąg może nie mieć granicy lub mieć granicę, natomiast jeśli ją ma, to jest ona jedyną jego granicą.

 

Twierdzenie: Granicą ciągu stałego jest wyraz ogólny tego ciągu.

 

Przykład:

Jeśli a_n = 7 to  \lim_{n \to \infty} a_n =  \lim_{n \to \infty} 7 = 7.

 

Twierdzenie: Jeśli  \lim_{n \to \infty } a_n = g oraz r \in \math{R} to r \lim_{n \to \infty } a_n =  \lim_{n \to \infty } ra_n = rg.

Można zatem wyciągnąć przed granicę stały czynnik.

 

Twierdzenie: Jeśli k >0 to  \lim_{n \to \infty} \frac 1 {n^k} = 0.

 

Przykład:

 \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2}=0

 \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3}=0

 

Twierdzenie: Jeśli  \in (-1;1) to  \lim_{n \to \infty} q^n=0.

 

Przykład:

 \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{2})^n=0

 \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{5})^n=0

 

Mówiąc dość oględnie podnoszenie ułamka do coraz większych potęg, bądź do tej samej potęgi lecz zwiększając jego licznik, zbliżać będzie ten ułamek do zera. 

 

Twierdzenie o arytmetyce granic ciągów:

Niech \lim_{n \to \infty } a_n = a oraz \lim_{n \to \infty } b_n = b. Zachodzą następujące równości:

\lim_{n \to \infty } (a_n \pm b_n)= \lim_{n \to \infty } a_n \pm \lim_{n \to \infty }b_n=a \pm b

\lim_{n \to \infty } (a_n \cdot b_n)= \lim_{n \to \infty } a_n \cdot \lim_{n \to \infty }b_n=a \cdot b

\lim_{n \to \infty } \frac{a_n}{b_n}= \frac{\lim_{n \to \infty } a_n }{\cdot \lim_{n \to \infty }b_n}=\frac a b, o ile \lim_{n \to \infty }b_n  \neq 0b_n  \neq 0.

 

Druga równość jest uogólnieniem twierdzenia o wyciąganiu stałego czynnika przed granicę. W istocie twierdzenie o wyciąganiu stałego czynnika przed nawias jest wersją drugiej równości powyższego twierdzenia dla ciągu stałego b_n.

 

Twierdzenie: Jeśli a>0 to \lim_ {n \to \infty}  \sqrt[n]{ a}=1.

 

Przykład:

\lim_ {n \to \infty}  \sqrt[n]{2}=1

 

Przykład:

 \lim_{n \to \infty} \frac{6n^2-2n+1}{n^2} =
  \lim_{n \to \infty} (6-\frac2n+\frac1{n^2})=
  \lim_{n \to \infty} 6-  \lim_{n \to \infty}\frac2n+  \lim_{n \to \infty}\frac1{n^2}=6-0+0=6


 \lim_{n \to \infty} \frac{2n-1}{3n+5} = 
 \lim_{n \to \infty} \frac{2-\frac1n}{3+\frac5n} = 
\frac{ \lim_{n \to \infty} (2-\frac1n)}{\lim_{n \to \infty}(3+\frac5n)} = 
\frac{ 2-\lim_{n \to \infty} \frac1n}{3+\lim_{n \to \infty}\frac5n} = \frac23

 

Zadanie:

Obliczyć następujące granice: 

a) \lim_{n \to \infty}\frac{7n^2-12n+5}{8n^2-n+2,

b) \lim_{n \to \infty}\frac{5n^3-2n+1}{\frac 12n^3-2n^2+2n},

c) \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{5}}{n^2}

 

Odpowiedzi:

a) \frac78,

b) 10,

c) 0.

Polecamy również: