Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Nierówności wykładnicze i logarytmiczne

Ostatnio komentowane
takie se
szpilllla • 2016-12-09 15:16:18
NJE WJEM IAK TO ÓIĄĆ
kapi gsóp • 2016-12-09 07:09:04
Przydało się ^^
Psotkaa • 2016-12-08 13:59:22
kappa xdddddddd
kk • 2016-12-07 19:00:41
Do d**y
Hn 88H • 2016-12-06 20:48:20
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Nierówności wykładnicze i logarytmiczne

Nierównością wykładniczą jest każda nierówność, w której zmienna występuje w wykładniku potęgi. 

Rozwiązywanie nierówności wykładniczych od rozwiązywania równań wykładniczych różni się tylko jednym, choć niezmiernie istotnym, szczegółem. Należy zwrócić uwagę na podstawę potęgi - czy jest większa czy mniejsza od 1. Jeśli jest ona liczbą z przedziału (0,1) wówczas znak nierówności należy zmienić na przeciwny, jeśli nie - znak nierówności pozostaje ten sam.

 

Przykład:

2^{x} \le  \frac{1}{16}

2^{x}  \le  2^{-4}

x  \le  -4 - podstawa potęgi jest większa od 1, zatem znak nierówności pozostaje ten sam.

( \frac{1}{2}) ^{x} > 4

( \frac{1}{2}) ^{x} > ( \frac{1}{2} )^{-2} 

x < -2 - podstawa potęgi jest mniejsza od 1, więc zamieniamy znak nierówności na przeciwny.

 

Nierówność logarytmiczna to taka, w której występuje logarytm zmiennej. 

Rozwiązując nierówności logarytmiczne liczbę znajdującą się po prawej stronie nierówności zamieniamy na logarytm.

W przypadku nierówności logarytmicznych istotne jest czy podstawa logarytmu jest liczbą większą bądź mniejszą od 1. Dla logarytmów o podstawach z przedziału (0,1) znak nierówności zmieniamy, w przeciwnym wypadku - pozostaje on bez zmian.

Należy także uwzględnić założenia odnośnie podstawy liczby logarytmowanej (nie może być ona liczbą ujemną). 

 

Przykład:

log_{2}x > 2, oraz x > 0

log_{2}x > log_{2}4

x > 4 - podstawa jest liczbą większą od 1, więc pozostawiamy znak nierówności.

Odpowiedź brzmi więc x \in (4, \infty ), po uwzględnieniu założeń o nieujemności liczby logarytmowanej.  

log_{ \frac{1}{2} }x > 2, gdzie x > 0

log_{ \frac{1}{2} }x > log_{ \frac{1}{2} } \frac{1}{4} , bo 2 = log_{ \frac{1}{2} } \frac{1}{4}

x <  \frac{1}{4}  - ponieważ podstawa logarytmu jest mniejsza od 1, znak nierówności zmieniamy na przeciwny.

Ostatecznie zatem x \in (0,  \frac{1}{4} ), po uwzględnieniu założeń o nieujemności liczby logarytmowanej.

 

Zadanie:

1. Rozwiązać następujące nierówności wykładnicze:

a)  \frac{5^{x}}{25} < 625,

b)  \frac{9}{3^{x}} > \frac{1}{27} ,

c) 16^{x} - 4^{x}  \le 0.

2. Rozwiązać następujące nierówności logarytmiczne:

a) log_{2} (x - 0,75)  \le -2,

b) log(x+x^{2})  \ge log(x-x^{2}),

c) log_{2}(2+x)+log_{ \frac{1}{2} }(1-x)<0.

 

Odpowiedzi:

1.

a) x < 6

b) x < 5

c) x \in (- \infty , 0]

2.

a) x \in ( \frac{3}{4} , 1],

b) x \in (0,1)

c) x \in (-2,- \frac{1}{2} )

Polecamy również:

Komentarze (0)
4 + 3 =