Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Monotoniczność ciągu – definicja, przykłady, zadania

Ostatnio komentowane
kappa xdddddddd
kk • 2016-12-07 19:00:41
Do d**y
Hn 88H • 2016-12-06 20:48:20
Polecam
Ola6a • 2016-12-05 19:19:19
super
sr • 2016-12-05 18:58:48
Dzięki za pomoc!
Uczeń • 2016-12-05 17:25:49
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Monotoniczność ciągu – definicja, przykłady, zadania

Jedną z podstawowych własności ciągów jest monotoniczność.

 

Definicja:

Ciąg (a_{n}) nazywam rosnącym jeśli każdy jego następny wyraz jest większy od poprzedniego (formalnie \forall {n \in \mathbb N} (a_{n+1} > a_n)).

Ciąg (a_{n}) nazywam malejącym jeśli każdy jego następny wyraz jest mniejszy od poprzedniego (formalnie \forall {n \in \mathbb N} (a_{n+1} < a_n)).

Ciąg (a_{n}) nazywam nierosnącym jeśli każdy jego następny wyraz jest niewiększy od poprzedniego (formalnie \forall {n \in \mathbb N} (a_{n+1}  \ge  a_n)).

Ciąg (a_{n}) nazywam niemalejącym jeśli każdy jego następny wyraz jest niemniejszy od poprzedniego (formalnie \forall {n \in \mathbb N} (a_{n+1}  \le  a_n)). Ciąg (a_{n}) nazywam stałym jeśli każdy jego następny wyraz jest równy poprzedniemu (formalnie \forall {n \in \mathbb N} (a_{n+1}  =  a_n)).

Jeśli nie zachodzi żadna z powyższych sytuacji, ciąg jest niemonotoniczny.

 

Zauważmy, że każdy z formalnych warunków można zapisać jako różnicę wyrazu następnego i poprzedniego, np. dla ciągu rosnącego:a_{n+1} - a_n >0, itd. Ta obserwacja przydatna będzie przy badaniu monotoniczności ciągów. 

  

Przykład:

Zbadać monotoniczność ciągu o wyrazie ogólnym a_n = n^2 - n + 1.

W tym celu sprawdzamy jaka jest różnica dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu.a_{n+1} - a_n = ((n+1)^2 - (n+1) + 1) - (n^2 - n +1) =

n^2 + 2n + 1 -n - 1 +1 - n^2 + n-1 = 2n > 0 \forall n \in \mathbb N

Zatem ciąg jest rosnący.

 

Innym sposobem badania monotoniczności ciągów jest porównanie stosunku kolejnych dwóch wyrazów do jedynki. Jeśli stosunek wyrazu następnego do poprzedniego jest większy

Polecamy również:

Komentarze (0)
4 + 5 =