Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.

Mnożenie wielomianów

Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Kolejną operacją, którą można wykonywać na wielomianach, jest ich mnożenie. 

Niech dane będą dwa wielomiany P(x) = a_{n}x^{n}+...+a_{1}x+a_{0} oraz Q(x). Iloczyn P(x) \cdot Q(x) ma postać  P(x)  \cdot  Q(x) = a_{n}x^{n}Q(x)+...+a_{1}xQ(x)+a_{0}Q(x).

Innymi słowy, każdą potęgę zmiennej x (wraz ze stojącym przy niej współczynnikiem) mnożymy przez wielomian Q(x).

 

Przykład:

Dane są wielomiany P(x) = 3x^{2}-2x+4 i Q(x) = 3x-8. Wykonamy ich mnożenie:P(x)  \cdot  Q(x) = (3x^{2}-2x+4) \cdot (3x-8) = 3x^{2}(3x-8)-2x(3x-8)+4(3x-8) =

 

9x^{3}-24x^{2}-6x^{2}+16x+12x-32 = 9x^{3}-30x^{2}+28x-32 

 

Stopień wielomianu P(x)Q(x) równy jest sumie stopnia wielomianu P(x) i stopnia wielomianu Q(x). W powyższym przykładzie wielomian P(x) był drugiego stopnia, zaś wielomian Q(x) pierwszego - natomiast ich iloczyn, tj. wielomian P(x)Q(x) ma stopień równy trzy.


Zadania:

Dane są wielomiany:

P(x) = x^{3}-3x^{2}+4x+2 ,

Q(x) = 2x^{2}-x.

Wykonać następujące mnożenia:

a) P(x) \cdot Q(x),

b) Q(x) ^{2} ,

c) P(x) \cdot Q(x)^{2}.

 

Odpowiedzi:

a) P(x) \cdot Q(x) = 2x^{5} - 7x^{4} + 11x^{3} - 2x^{3} - 2x
,

b) Q(x)^{2} = 4x^{4}-4x^{3}+x^{2},

c) P(x) \cdot Q(x)^{2} = 4x^{7} - 16x^{6} + 29x^{5} -11x^4 -4x^{3}+2x^{2}

Polecamy również:

  • Dodawanie wielomianów

    Jedną z podstawowych operacji, jakie możemy wykonywać na wielomianach, jest ich dodawanie. Dodawanie wielomianów polega na sumowaniu współczynników stojących przy odpowiednich potęgach. 

  • Dzielenie wielomianów

    Dzielenie wielomianów jest operacją, która znajduje zastosowanie w rozkładaniu wielomianu na czynniki, co jest jednym z etapów rozwiązywania równań wielomianowych.

  • Równość wielomianów

    Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia i ich współczynniki przy tych samych potęgach są równe.

  • Twierdzenie Bezouta

    Z dzieleniem wielomianów związane jest twierdzenie Bezouta opisujące zależność między pierwiastkami wielomianu, a czynnikami występującymi w jego rozkładzie.