Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Granice jednostronne funkcji – przykłady, zadania

Ostatnio komentowane
2+2 is 4 minus 1 that 3 quick maths
NIGGArd • 2017-10-23 17:12:01
przydatny
gg • 2017-10-23 15:55:55
Świetne! Dziękuję bardzo :D
Maruda • 2017-10-23 14:16:27
ale słabe
jolo • 2017-10-23 13:16:09
a obrazy???
hejo jejo • 2017-10-21 15:56:37
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Granice jednostronne funkcji – przykłady, zadania

Granicami jednostronnymi funkcji w punkcie nazywamy granice prawostronną oraz lewostronną tej funkcji w tym punkcie. Są one zdefiniowane następująco:

Def.: Liczba g jest granicą prawostronną funkcji f w punkcie x_0 jeśli dla każdego ciągu (x_n) zbieżnego do x_0 o wyrazach x_n > x_0 ciąg (f(x_n)) jest zbieżny do g.

Def.: Liczba g jest granicą lewostronną funkcji f w punkcie x_0 jeśli dla każdego ciągu (x_n) zbieżnego do x_0 o wyrazach x_n < x_0 ciąg (f(x_n)) jest zbieżny do g.

Granicę prawostronną funkcji f w punkcie x_0 zapisujemy  \lim_{x \to x_0^+} f(x), natomiast granicę lewostronną tej funkcji w tym punkcie   \lim_{x \to x_0^-} f(x).

Dla granic jednostronnych prawdziwe są wszystkie metody stosowane przy obliczaniu granic obustronnych.

 

Przykład:

 \lim_{x \to 0^+} ( \sqrt{x} -2) =  \lim_{x \to 0^+}  \sqrt{x} -  \lim_{x \to 0^+} 2 = 0-2=-2

 

Twierdzenie: Funkcja f ma granicę w punkcie x_0 wtedy i tylko wtedy, gdy f ma w tym punkcie obie granice jednostronne i są one równe, tzn \lim_{x \to x_0}f(x)=g \Leftrightarrow   \lim_{ x\to x_0^+}  f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = g.

W szczególności mogą istnieć obie granice jednostronne danej funkcji w punkcie, ale funkcja ta może nie mieć granicy. 

 

Przykład:

Granica prawostronna funkcji signum w punkcie x_0 = 0 wynosi 1, zaś granica lewostronna -1, bo gdy x>x_0=0 funkcja ta dana jest wzorem f(x) = 1 natomiast dla x< x_0 = 0 f(x) = -1.

Istnieją obie granice jednostronne funkcji signum w punkcie x_0 = 0 ale funkcja ta nie ma w tym punkcie granicy (bo granica prawostronna i lewostronna nie są sobie równe).

 

Zadanie:

Czy funkcja f(x) =  \begin{cases} x^3+4  \Leftrightarrow  x<-1 \\ 4-x^2  \Leftrightarrow x>-1 \end{cases} ma granicę w punkcie x_0 = 1.

 

Odpowiedzi:

Tak, granica istnieje.

Polecamy również:

Komentarze (0)
5 + 2 =