Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Granica niewłaściwa funkcji – przykłady, zadania

Ostatnio komentowane
Zainwestujcie w filtr spamu (mogę y o wykonać 2.50 zł za godzinę, kontakt ty@cweluch.i...
Cygrus • 2018-05-21 09:08:04
XD
TwojaStara123 • 2018-05-20 13:18:22
jak coś to 1+5=6
twoja stara • 2018-05-20 13:42:58
hehe
hehe • 2018-05-20 11:09:39
PKO Bank Polski http://e-m2m.pl/5b010419ce74d
jadwiga • 2018-05-20 05:39:18
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Granice niewłaściwe definiujemy następująco: 

Def.: Funkcja f ma w punkcie x_0 granicę niewłaściwą +\infty jeśli dla każdego ciągu (x_n) zbieżnego do x_0 o wyrazach różnych od x_0 ciąg (f(x_n)) jest rozbieżny do +\infty.

Def.: Funkcja f ma w punkcie x_0 granicę niewłaściwą -\infty jeśli dla każdego ciągu (x_n) zbieżnego do x_0 o wyrazach różnych od x_0 ciąg (f(x_n)) jest rozbieżny do -\infty.

Stosujemy oznaczenia odpowiednio  \lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty lub  \lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty.

 

Ponadto definiujemy też granice jednostronne:

Def.: Funkcja f ma w punkcie x_0 granicę niewłaściwą prawostronną +\infty jeśli dla każdego ciągu (x_n) zbieżnego do x_0 o wyrazach większych od x_0 ciąg (f(x_n)) jest rozbieżny do +\infty.

Def.: Funkcja f ma w punkcie x_0 granicę niewłaściwą lewostronną +\infty jeśli dla każdego ciągu (x_n) zbieżnego do x_0 o wyrazach mniejszych od x_0 ciąg (f(x_n)) jest rozbieżny do +\infty.

Def.: Funkcja f ma w punkcie x_0 granicę niewłaściwą prawostronną -\infty jeśli dla każdego ciągu (x_n) zbieżnego do x_0 o wyrazach większych od x_0 ciąg (f(x_n)) jest rozbieżny do -\infty.

Def.: Funkcja f ma w punkcie x_0 granicę niewłaściwą lewostronną -\infty jeśli dla każdego ciągu (x_n) zbieżnego do x_0 o wyrazach mniejszych od x_0 ciąg (f(x_n)) jest rozbieżny do -\infty.

Stosujemy odpowiednie oznaczenia:

 \lim_{x \to x_0^+} f(x) = +\infty \lim_{x \to x_0^-} f(x) = +\infty,  \lim_{x \to x_0^+} f(x) = -\infty \lim_{x \to x_0^-} f(x) = -\infty.

 

Ponadto pisać będziemy też:

 \lim_{x \to x_0} f(x) = 0^+ gdy  \lim_{x \to x_0} f(x) = 0 oraz f(x) > 0 w sąsiedztwie punktu x_0,

 \lim_{x \to x_0} f(x) = 0^-  gdy  \lim_{x \to x_0} f(x) = 0 oraz f(x) < 0 w sąsiedztwie punktu x_0.

 

Do obliczania granic niewłaściwych wykorzystywane jest następujące twierdzenie:

Jeśli  \lim_{x \to x^0} f(x) = 0^+ \lim_{x \to x_0} g(x) > 0 to  \lim_{x \to x_0} \frac{g(x)}{f(x)} = +\infty.

Jeśli  \lim_{x \to x^0} f(x) = 0^+ \lim_{x \to x_0} g(x) < 0 to  \lim_{x \to x_0} \frac{g(x)}{f(x)} = -\infty.

Jeśli  \lim_{x \to x^0} f(x) = 0^- \lim_{x \to x_0} g(x) > 0 to  \lim_{x \to x_0} \frac{g(x)}{f(x)} = -\infty.

Jeśli  \lim_{x \to x^0} f(x) = 0^- \lim_{x \to x_0} g(x) < 0 to  \lim_{x \to x_0} \frac{g(x)}{f(x)} = +\infty.

 

Przykład:

 \lim_{x \to 3^+} \frac{x-2}{x^2-9} = [\frac1{0^+}] = +\infty 

 

 \lim_{x \to 3^+} \frac{x-5}{x^2-9} = [\frac{-2}{0^+}]=-\infty

 

 

Zadania:

Znaleźć granice  \lim_{x \to 5^+} \frac{1-x}{5-x} i  \lim_{x \to 5^-} \frac{1-x}{5-x}.

 

Odpowiedzi:

Granice wynoszą odpowiednio +\infty-\infty.

Polecamy również:

Komentarze (0)
1 + 1 =