Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Granica ciągu – definicja, wzory, przykłady, zadania

Ostatnio komentowane
głupie do rzeczy na drugi raz
felisityfornow • 2016-12-10 17:19:44
Spoko?
DOWNN • 2016-12-10 15:00:50
Jest ok
Uczeń2002 • 2016-12-10 13:39:29
za trudne do zrozumienia
ola, 12 lat • 2016-12-10 11:51:46
takie se
szpilllla • 2016-12-09 15:16:18
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Granica ciągu – definicja, wzory, przykłady, zadania

Definicja: Mówimy, że ciąg (a_n) ma granicę g (jest zbieżny do g), jeśli dla każdego \varepsilon > 0 istnieje liczba naturalna n_0 taka, że dla wszystkich n \ge n_0 zachodzi |a_n - g|< \varepsilon

(formalnie:  \lim_{n \to  \infty } a_n = g  \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \exist n_0 \in \mathbb{N} \forall n\ge n_0 |a_n - g| < \varepsilon).

 

Intuicyjnie liczba g jest granicą ciągu (a_n) wtedy, gdy wraz ze wzrostem n wyrazy tego ciągu zbliżają się do g (tzn. im n jest większe tym a_n bliższe jest g). Piszemy wówczas, że a_n  \rightarrow   g (a_n dąży do g).

 

Przykład:

Udowodnić, że  \lim_{n \to \infty  } \frac 1 n = 0.

Chcemy, żeby było \forall \varepsilon > 0 \exist n_\varepsilon \in \mathbb{N} \forall n\ge n_\varepsilon |a_n - g| < \varepsilon, gdzie a_n = \frac 1 ng = 0, a zatem |\frac 1 n - 0| < \varep.

Przekształćmy:

|\frac 1 n| < \varep

\frac 1 n < \varep

1 < n\varep

n > \frac 1 {\varep}

Zdefiniujmy n_{\varep} = \frac 1 {\varep}.

Wówczas n > n_{\varep} = \frac 1 {\varep} i mamy, że  ło \forall \varepsilon > 
0 \exist n_\varepsilon
 \in \mathbb{N} (n_{\varep}=\frac 1 {\varep})\forall n\ge n_\varepsilon |a_n - g| < \varepsilon, co było do pokazania.

 

Zadanie:

Pokazać na podstawie definicji, że  \lim_{n \to  \infty } \frac {2n^2}{n^2+1} = 2.

Polecamy również:

Komentarze (0)
4 + 2 =