Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Ekstremum funkcji – definicja, przykłady, zadania

Ostatnio komentowane
rwe
rwe • 2017-03-23 20:38:22
wybutne opracowaniw
liku • 2017-03-23 19:22:55
Nie o to mi chodziło... ale i tak dobra robota...
Andzela122 • 2017-03-23 14:51:32
Tu nie jest napisane i chrzcie
Krzysiek • 2017-03-22 20:25:45
Ciekawe informacje :)
Elo • 2017-03-22 14:39:42
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Ekstremum funkcji – definicja, przykłady, zadania

Ekstrema funkcji to inaczej jej minimum i maksimum, tzn. jej wartości najmniejsze i największe.

Mówimy o ekstremach lokalnych (są nimi wszystkie ekstrema) oraz ekstremach globalnych (są nimi wartość najmniejsza i wartość największa w całej dziedzinie).

Sformułujmy podstawowe twierdzenia:

 

Twierdzenie (warunek konieczny istnienia ekstremum)

Jeśli funkcja f ma pochodną w x_0 i ma w x_0 ekstremum to f'(x_0)=0.

 

Twierdzenie (warunek wystarczający istnienia ekstremum)

Jeśli funkcja f jest różniczkowalna na (a,b) oraz  \begin{cases} f'(x) >0 \operator{ dla } x\in (a,x_0) 
\\ f'(x) <0 \operator{ dla } x\in (x_0,b) \end{cases} to f ma w x_0 maksimum.

 

Jeśli funkcja f jest różniczkowalna na (a,b) oraz  \begin{cases} f'(x) <0 \operator{ dla } x\in (a,x_0) 
\\ f'(x) >0 \operator{ dla } x\in (x_0,b) \end{cases} to f ma w x_0 minimum.  

 

Innymi słowy funkcja ma w danym punkcie ekstremum jeśli jej pochodna zmienia w nim znak.

 

Przykład:

 f(x) = x^4-8x^2 + 6

 f'(x) = 4x^3-16x=4x(x^2-4)=0

x = 0 \vee x=2 \vee x=-2

 

 

W punktach x = 0 \vee x=2 \vee x=-2 pochodna jest równa zeru oraz zmienia znak, zatem funkcja ma w tych punktach ekstrema lokalne, przy czym w x = 0 funkcja ma maksimum, natomiast w x = -2x =2 funkcja ma minima.

 

Zadanie:

Znaleźć ekstrema funkcji:

a) f(x) = -3x^4 +4x^3,

b) f(x) = \frac {-x^2 +9}{x+5}.

 

Odpowiedzi:

a) funkcja ma maksimum w x = 1,

b) funkcja ma maksimum w x = -1 i minimum w x = -9.

Polecamy również:

Komentarze (0)
2 + 3 =