Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Ekstremum funkcji – definicja, przykłady, zadania

Ostatnio komentowane
takie se
szpilllla • 2016-12-09 15:16:18
NJE WJEM IAK TO ÓIĄĆ
kapi gsóp • 2016-12-09 07:09:04
Przydało się ^^
Psotkaa • 2016-12-08 13:59:22
kappa xdddddddd
kk • 2016-12-07 19:00:41
Do d**y
Hn 88H • 2016-12-06 20:48:20
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Ekstremum funkcji – definicja, przykłady, zadania

Ekstrema funkcji to inaczej jej minimum i maksimum, tzn. jej wartości najmniejsze i największe.

Mówimy o ekstremach lokalnych (są nimi wszystkie ekstrema) oraz ekstremach globalnych (są nimi wartość najmniejsza i wartość największa w całej dziedzinie).

Sformułujmy podstawowe twierdzenia:

 

Twierdzenie (warunek konieczny istnienia ekstremum)

Jeśli funkcja f ma pochodną w x_0 i ma w x_0 ekstremum to f'(x_0)=0.

 

Twierdzenie (warunek wystarczający istnienia ekstremum)

Jeśli funkcja f jest różniczkowalna na (a,b) oraz  \begin{cases} f'(x) >0 \operator{ dla } x\in (a,x_0) 
\\ f'(x) <0 \operator{ dla } x\in (x_0,b) \end{cases} to f ma w x_0 maksimum.

 

Jeśli funkcja f jest różniczkowalna na (a,b) oraz  \begin{cases} f'(x) <0 \operator{ dla } x\in (a,x_0) 
\\ f'(x) >0 \operator{ dla } x\in (x_0,b) \end{cases} to f ma w x_0 minimum.  

 

Innymi słowy funkcja ma w danym punkcie ekstremum jeśli jej pochodna zmienia w nim znak.

 

Przykład:

 f(x) = x^4-8x^2 + 6

 f'(x) = 4x^3-16x=4x(x^2-4)=0

x = 0 \vee x=2 \vee x=-2

 

 

W punktach x = 0 \vee x=2 \vee x=-2 pochodna jest równa zeru oraz zmienia znak, zatem funkcja ma w tych punktach ekstrema lokalne, przy czym w x = 0 funkcja ma maksimum, natomiast w x = -2x =2 funkcja ma minima.

 

Zadanie:

Znaleźć ekstrema funkcji:

a) f(x) = -3x^4 +4x^3,

b) f(x) = \frac {-x^2 +9}{x+5}.

 

Odpowiedzi:

a) funkcja ma maksimum w x = 1,

b) funkcja ma maksimum w x = -1 i minimum w x = -9.

Polecamy również:

Komentarze (0)
5 + 2 =