Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Dzielenie wielomianów

Ostatnio komentowane
Polecam
Ola6a • 2016-12-05 19:19:19
super
sr • 2016-12-05 18:58:48
Dzięki za pomoc!
Uczeń • 2016-12-05 17:25:49
Moja nauczcielka zagroziła mi że pozwie mnie do sądu jak na wypracowania będe kopiowal...
drtjfghjfcghfcgh • 2016-12-05 15:17:27
@Nesti Głupi to ty jesteś.
xxx • 2016-12-05 17:17:51
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Dzielenie wielomianów

Dzielenie wielomianów jest operacją, która znajduje zastosowanie w rozkładaniu wielomianu na czynniki, co jest jednym z etapów rozwiązywania równań wielomianowych.

Gdy dane są dwa wielomiany P(x)Q(x), a do tego stopień wielomianu P(x)  jest nie mniejszy niż stopień Q(x) , to  P(x) można przez Q(x) podzielić.

Dzielenie jest działaniem odwrotnym do mnożenia i tak jeśli dla wielomianów P(x), Q(x) i W(x) zachodzi:

P(x) \cdot Q(x) = W(x), to można wykonać dzielenie W(x) : Q(x) = P(x). Podobnie jak w przypadku działań na liczbach - dzielenie może być bez reszty lub z resztą. W tym drugim przypadku do wyniku byłaby dodana reszta wielomianowa R(x).

 

Przykład:

Mamy podzielić wielomian-2x^{3} + 3x^{2} + 12x -9 przez dwumian x - 3. Postępujemy w następujący sposób.

Najpierw zastanawiamy się, ile razy w pierwszym składniku wielomianu (-2x^{3}) mieści się pierwszy składnik dwumianu (tj. x). Odpowiedź brzmi -2x^{2} - więc tą liczbę zapisujemy nad kreską. Teraz przez zapisaną liczbę mnożymy oba składniki dwumianu, a wynik mnożenia zapisujemy ze zmienionym znakiem, pod spodem. Wykonujemy dodawanie składników zapisanych pod spodem oraz składników wyjściowego wielomianu. Teraz zastanawiamy się, ile razy w pierwszym składniku tego wielomianu, który otrzymaliśmy po dodawaniu (a zatem w -3x^{2}) mieści się pierwszy składnik dwumianu, przez który cały czas dzielimy - itd. Procedurę kontynuujemy do momentu, gdy znikną x-y, tj. kiedy zostanie pod kolejną z kresk bądź sama liczba, bądź nic.

Jeśli na końcu zostałaby jakaś liczba, dzielenie byłoby z resztą, w tym przykładzie natomiast - jest to dzielenie bez reszty.

Wynikiem dzielenia jest wielomian -2x^{2} -3x + 3, zatem:

(-2x^{3} + 3x^{2} + 12x -9):(x-3) = -2x^{2} - 3x +3.

 

Zadanie:

Wykonać następujące dzielenia wielomianów:

a) (x^{3} + 3x + 7):(x-4),

b) (x^{4} + 6x^{3} - 2):(2x^{2}+1),

c) (3x^{4} - x^{2}):(x-1).

 

Odpowiedzi

a) x^{2} + 7, r. 35,

b)  \frac{1}{2} x^{2} + 3x -  \frac{1}{4} , r. -3x -  \frac{7}{4} ,

c) 3x^{3} + 3x^{2} + 2x + 2, r. 2.

Polecamy również:

  • Dodawanie wielomianów

    Jedną z podstawowych operacji, jakie możemy wykonywać na wielomianach, jest ich dodawanie. Dodawanie wielomianów polega na sumowaniu współczynników stojących przy odpowiednich potęgach.  Więcej »

  • Mnożenie wielomianów

    Kolejną operacją, którą można wykonywać na wielomianach, jest ich mnożenie. Więcej »

  • Równość wielomianów

    Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia i ich współczynniki przy tych samych potęgach są równe. Więcej »

  • Twierdzenie Bezouta

    Z dzieleniem wielomianów związane jest twierdzenie Bezouta opisujące zależność między pierwiastkami wielomianu, a czynnikami występującymi w jego rozkładzie. Więcej »

Komentarze (0)
1 + 2 =