Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Ciągłość funkcji – definicja, zadania, przykłady

Ostatnio komentowane
Do d**y
Hn 88H • 2016-12-06 20:48:20
Polecam
Ola6a • 2016-12-05 19:19:19
super
sr • 2016-12-05 18:58:48
Dzięki za pomoc!
Uczeń • 2016-12-05 17:25:49
Moja nauczcielka zagroziła mi że pozwie mnie do sądu jak na wypracowania będe kopiowal...
drtjfghjfcghfcgh • 2016-12-05 15:17:27
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Ciągłość funkcji – definicja, zadania, przykłady

Def.: Mówimy, że funkcja f:(a,b) \to R jest ciągła w punkcie x_0\in(a,b) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje granica tej funkcji w tym punkcie i równa jest ona jej wartości w tym punkcie (formalnie:  \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)).

Funkcję f:(a,b) \to R nazywamy ciągłą, jeżeli jest ciągła w każdym punkcie x_0\in(a,b).

 

Przykładami funkcji ciągłych są wszystkie funkcje wielomianowe (a zatem w szczególności funkcje liniowa i kwadratowa), funkcje wykładnicze i logarytczmine, funkcje sinus, cosinus, tangens i cotangens oraz złożenia wszystkich powyższych funkcji (złożeniem funkcji nazywamy funkcję powstałą z dwóch lub więcej funkcji w wyniku połączenia ich operacjami arytmetycznymi).

 

Przykład:

Funkcja \frac{2x+3}{3x+2} jest złożeniem dwóch wielomianów (2x + 33x + 2), więc jest funkcją ciągłą.

Podobnie funkcja x +2\sin x- 3 \ln 2x jest funkcją ciągłą bo powstała poprzez składanie innych funkcji ciągłych.

 

Przykład:

Wykażemy, że funkcja entier nie jest funkcją ciągłą. W tym celu pokażemy, że istnieją punkty, w których funkcja nie ma granicy.

Zauważmy, że granica lewostronna i prawostronna funkcji w punktach ze zbioru liczb całkowitych są różne, zatem funkcja nie posiada w nich granicy, czyli istnieją punkty nieciągłości - więc funkcja nie jest ciągła.

  

Zadanie:

Zbadać ciągłość funkcji f(x) =  \begin{cases} 2x \Leftrightarrow \operator {dla} x \le 3 \\
 4x+1  \Leftrightarrow \operator {dla} x > 3 \end{cases} .

 

Odpowiedzi:

Funkcja nie jest ciągła.

Polecamy również:

Komentarze (0)
3 + 1 =