Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Ciąg geometryczny – wyrazy sąsiednie

Ostatnio komentowane
głupie do rzeczy na drugi raz
felisityfornow • 2016-12-10 17:19:44
Spoko?
DOWNN • 2016-12-10 15:00:50
Jest ok
Uczeń2002 • 2016-12-10 13:39:29
za trudne do zrozumienia
ola, 12 lat • 2016-12-10 11:51:46
takie se
szpilllla • 2016-12-09 15:16:18
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Ciąg geometryczny – wyrazy sąsiednie

Podobnie jak w przypadku ciągu arytmetycznego sąsiednie wyrazy ciągu geometrycznego również połączone są ze sobą pewną zależnością. Zastrzeżenie jest jednak takie, że poniższa własność prawdziwa jest jedynie dla ciągów o wyrazach dodatnich.

 

W ciągu geometrycznym każdy wyraz począwszy od drugiego jest średnią geometryczną wyrazów z nim sąsiadujących:

a_n = \sqrt{a_{n-1}\cdot a_{n+1}}.

Ogólnie natomiast (tj. dla wszystkich ciągów geometrycznych, także tych o wyrazach ujemnych) mamy

a_n^2 = a_{n-1}\cdot a_{n+1}.

 

Wyprowadzenie:

Wypiszmy wzory ogólne trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego: 

a_{n-1} = a_1 \cdot q^{n-2}

a_{n} = a_1 \cdot q^{n-1}

a_{n+1} = a_1 \cdot q^{n}

Pomnożenie pierwszego i trzeciego z tych wyrazów prowadzi nas do wyniku powyższego twierdzenia:

a_{n-1}\cdot a_{n+1} = a_1 \cdot q^{n-2}\cdot a_1 \cdot q^n = 
 a_1^2 \cdot q^{n-1} \cdot q^{n-1} = 
 (a_1 \cdot q^{n})^2 = a_n^2

A jeśli a_{n-1}a_na_{n+1} są dodatnie dla każdego n możemy zapisać

a_n = \sqrt{a_{n-1}\cdot a_{n+1}}.

 

Przykład:

Liczby x = 4yz = 16 tworzą ciąg geometryczny. Jaką liczbą jest y?

Skorzystajmy z opisanej wyżej zależności, mianowicie y^2 =  4\cdot16 =  64. Możliwe są dwie sytuacje, kiedy iloraz ciągu jest liczbą dodatnią y = 8, natomiast kiedy iloraz ciągu jest liczbą ujemną y = -8.

Polecamy również:

Komentarze (0)
4 + 5 =