Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Energia w ruchu harmonicznym – przemiany

Ostatnio komentowane
ten nademną to pedał XD
mojstaryjestfanatykiemwedkarstwa • 2016-12-03 17:51:08
elo
lolek • 2016-12-03 10:57:03
I tak nie zdacie cfele XD
Ruhaczmateg • 2016-12-01 17:33:21
wtf
nicnieumiem • 2016-12-01 12:36:50
trudne. z kartkówki mam 2
lolek 004 • 2016-12-01 12:35:11
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Energia w ruchu harmonicznym – przemiany

Energia całkowita (Ec)  ciała wykonującego drgania harmoniczne jest sumą jego energii potencjalnej (Ep) i kinetycznej (Ek).

Ec = Ep + Ek

Energia potencjalna związana jest z działaniem siły, będącej liniową funkcją wychylenia i jest równa:

E _{p} = \frac{kx ^{2} }{2}

gdzie: k – współczynnik sprężystości, x – wychylenie.

Energia kinetyczna natomiast związana jest z prędkością ciała i jest równa:

E _{k}= \frac{mv ^{2} }{2}

gdzie: m – masa, v – prędkość.

Wychylenie i prędkość w ruchu harmonicznym są odpowiednio równe:

x=Asin( \omega t)

v=A \omega cos( \omega t)

gdzie: A – amplituda drgań, ω – częstość kołowa, ωt – faza drgań.

Zatem wzory na energie potencjalną i kinetyczną można zapisać następująco:

E _{p}=  \frac{kA ^{2}sin ^{2}( \omega t)  }{2}

E _{k}= \frac{mA ^{2} \omega  ^{2}cos ^{2} ( \omega t)  }{2}

Ponieważ  m \omega  ^{2} =k, to E _{k} = \frac{kA ^{2}cos ^{2}( \omega t)  }{2} .

Całkowita energia w ruchu harmonicznym jest więc równa:

E _{c} = \frac{kA ^{2}sin ^{2}( \omega t)  }{2} + \frac{kA ^{2}cos ^{2}( \omega t)  }{2} 
= \frac{kA ^{2} }{2} (sin ^{2}( \omega t) +cos ^{2}( \omega t)= \frac{kA ^{2} }{2}

sin ^{2} ( \omega t)+cos ^{2} ( \omega t)=1 - jednostka trygonometryczna.

Na rysunku przedstawiono zależności energii potencjalnej, kinetycznej i całkowitej od czasu.

Widać, że energia całkowita ma stałą wartość równą maksymalnej wartości energii potencjalnej i kinetycznej. Oznacza to, że w ruchu drgającym w sposób ciągły zachodzą przemiany energii potencjalnej w kinetyczną i odwrotnie tak, że suma tych dwóch rodzajów energii jest zawsze stała, więc nie zależy od czasu.

Przemiany energii w ruchu harmonicznym - przykład.

Równanie x = 4sin( \pi •t) przedstawia zależność wychylenia ciała o masie m = 1kg , wykonującego drgania harmoniczne. Znajdź wartości energii potencjalnej, kinetycznej i całkowitej po czasie t = T/12. Wszystkie wielkości wyrażone są w jednostkach układu SI.

Rozwiązanie:
Z przedstawionego równania można odczytać, że:
A = 4m
ω  =  \pi 1/s

Ponieważ k=m \omega   ^{2} , to energia całkowita jest równa:

E _{c} = \frac{m \omega  ^{2}A ^{2}  }{2} = \frac{1kg \cdot  \pi  ^{2} \frac{1}{s ^{2}  } 
\cdot (4m)  ^{2} 
 }{2}

E _{c} =8 \pi  ^{2} J

Energię kinetyczną można zapisać następująco:

E _{k}= \frac{mA ^{2} \omega  ^{2}cos ^{2} ( \omega t)  }{2}

Ponieważ t = T/12 oraz T= \frac{2 \pi }{ \omega } , to:

E _{k} = \frac{mA ^{2} \omega  ^{2}cos ^{2}( \omega  \frac{2 \pi }{12 \omega }   ) }{2} 
= \frac{mA ^{2} \omega  ^{2}cos ^{2}( \frac{ \pi }{6}  )  }{2}

E _{k} = \frac{1kg(4m) ^{2} \cdot  \pi  ^{2} \frac{1}{s ^{2} }  \cdot  \frac{3}{4}   }{2} 
=6 \pi  ^{2} J

Energią potencjalną można wyznaczyć jako różnicę energii całkowitej i kinetycznej, więc:

E _{p} =E _{c} -E _{k} =8 \pi  ^{2} J-6 \pi  ^{2} J=2 \pi  ^{2} J

Polecamy również:

Komentarze (0)
1 + 3 =